необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции

Ответ от Колян Гришанов[эксперт]
Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, которая может быть хорошо приближена к линейной функции. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.
Определения
* Пусть дана функция fcolon Msubset R o R, и x_0in M — внутренняя точка области определения f. Тогда f называется дифференци́руемой в x0, если существует окрестность U(x_0)
i x_0 и число A in mathbb{R} такие, что в этой окрестности для f справедливо представление
f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0),quad x in U(x_0),
где o(x − x0) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − x0 при x o x_0. Если f дифференцируема в x0, пишут f in mathcal{D}(x_0).
* Линейное отображение l(h) = Ah,; h in R, где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке x0 и обозначается df(x0).
* Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Δz = AΔx + BΔy + αΔx + βΔy,
где alpha = alpha (Delta x , Delta y )
ightarrow 0 и eta = eta (Delta x , Delta y )
ightarrow 0 при Delta x
ightarrow 0,Delta y
ightarrow 0
Свойства
* Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0)Leftrightarrow f'(x_0) = A.
* Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
* Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
f in mathcal{D}(x_0)Rightarrow f in C(x_0).
Обратное, вообще говоря, неверно.
Касательная прямая
Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция f_lcolonmathbb{R} o mathbb{R}, задаваемая уравнением fl(x) = f(x0) + (f)'(x0)(x − x0), называется касательной к функции f в точке x0.
Примеры
* Функция f(x) = x2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
f(x) = f(x0) + 2x0(x − x0) + (x − x0)2.
Таким образом имеем: f'(x0) = 2x0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0). Дифференциал этой функции задаётся формулой: df(x0)(h) = 2x0h.
* Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x0 = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.
[править] См. также

Ответ от ЁИДОР[активный]
непрерывность и отсутствие изломов на графике

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]