около шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида

Ответ от Андрей Мельников[гуру]
Построим сечение шара и пирамиды плоскостью, проходящей через ось симметрии фигуры и середину ребра основания пирамиды. В сечении получим равнобокую трапецию, описанную около окружности. Угол наклона боковой стороны этой трапеции равна равен углу наклона боковой грани к плоскости основания (по теореме о трех пперпендикулярах) .
Пусть длина меньшего основания равна a, тогда большее основание (в силк подобия основания усеченной пирамиды) равно 3a.
Касательные к окружноси, проведенные из одной точки равны, следовательно длина боковаой стороны трапеции равна (a+3a)/2=2a.
Осталось найти угол наклона боковой стороны к основанию:
cosα=a/2a=1/2
α=π/3