описанный четырехугольник свойства и признаки

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
Если сумма противоположных внутренних углов 4угольника равна 180°, то такой 4угольник является вписанным.
Доказ-во:
Пусть ABCD четырехугольник, удовлетворяющий условию признака.
Проведем через точки ABC окружность (описанная окружность треугольника ABC.
E -- точка пересечения луча AD и окружности.
Тогда вписанный угол ABC опирается на дугу AEC и равен половине градусной меры этой дуги ABC=1/2*мерадугиAEC
Вписанный угол AEC опирается на дугу ABC и равен половине градусной меры этой дуги AEC=1/2*мерадугиABC
С другой стороны, вместе дуги ABC и AEC составляют полную окружность, поэтому
мерадугиAEC+мерадугиABC=360°, следовательно
мерадугиABC=360°-мерадугиAEC
AEC=1/2*(360°-мерадугиAEC)=180°-1/2*мерадугиAEC=180°-ABC
По условию признака ADC=180°-ABC, поэтому AEC=ADC.
Так как E лежит на луче AD, то угол DAC=EAC,
тогда угол ACE=180°-EAC-AEC=180°-DAC-ADC=ACD
Отсюда следует, что треугольники ACD и ACE равны по стороне (общая AC) и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AD=AE, следовательно точка E совпадает с точкой D.
Точка E лежит на окружности, следовательно и совпадающая с ней точка D лежит на окружности, следовательно четырехугольник ABCD -- вписанный.