Автор Миша Дойков задал вопрос в разделе Домашние задания
Какое множество является пересечением множества натуральных и множества действительных чисел? и получил лучший ответ
Ответ от Злой Голубь[активный]
Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х2+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,... X, Y,...а их элементы — малыми буквами a, b,...х, у,...
Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х ÎX; запись хÏХ или х ÎX означает, что элемент х не принадлежит множеству X.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х: 0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АÌВ («А включено в В») или ВÉА («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АÌВ и ВÌА. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х: хєА или хєВ}.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х: хєА и хєВ}
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:
ΑÞ ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;
ΑÛ ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;
" — означает «для любого», «для всякого»;
$ — «существует», «найдется»;
: — «имеет место», «такое что»;
→ — «соответствие».
Например:
1) запись " xÎ А: α означает: «для всякого элемента хÎ А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.
13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:
N={1; 2; 3; ...; n; ...} — множество натуральных чисел;
Zo={0; 1; 2; ...; n; ...} — множество целых неотрицательных чисел;
Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;
Q={m/n: mÎZ,nÎN} — множество рациональных чисел.
R—множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.
Теорема 13.1.
Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
▼Допустим, что существует рацыональное число, представленное несократимой дробью m/n, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
(m/n)2=2, т. е. m2=2n2.
Отсюда следует, что m2 (а значит, и m) — четное число, т. е. m=2k. Подставив m=2