определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
1) Произвольно разбиваем промежуток [a;b] на части,
на каждой части берем какую-нибудь точку и вычисляем функцию в этой точке. Составляем произведения значения функции на длину частичного промежутка и складываем
все такие произведения. Получается "интегральная
сумма".
А затем делаем разбиение всё мельче и мельче, при этом число чаcтичных промежутков неограниченно вохзрастает. Предел интегральной суммы и есть определенный интеграл
int [a;b] f(x)dx.
2) Если на каждом частичном промежутке выбирать такую точку, чтобы значение функции было максимально, то интегральная сумма будет ВЕРХНЕЙ, а если брать минимальные значения функции, то сумму будет НИЖНЕЙ.
Для существования интеграла необх. и дост. , чтобы предел верхней суммы был равен пределу нижней суммы.
3) Пусть основной промежуток [a;b], возьмем на нем какую-нибудь точку с и напишем интеграл по промежутку [а; с] :
int [a;c] f(x)dx.
Теперь будем менять с, тогда и значение интеграла меняется. То есть, получилась функция от с. Обычно вместо с пишут х, а чтобы не перепутать это х и переменную интегрирования, эту переменную обозначают другой буквой, например,
int [a;x] f(t)dt.
Теорема: Производная по х от интеграла с верхним пределом х равна значению подинтегральной функции
в точке х:
d/dx int [a;x] f(t)dt= f(x).