Автор Xxx xxx задал вопрос в разделе Наука, Техника, Языки
Какой смысл у функции Римана? и получил лучший ответ
Ответ от Radik Mamleev[гуру]
функцией Римана называется функция комплексного переменного, задаваемая рядом:
определяет полуплоскость >1 де ряд сходится абсолютно
Именно введению этой функции мы обязаны новому взгляду на геометрию, при котором пространство вводится как топологическое многообразие с метрикой, задаваемой произвольной квадратичной дифференциальной формой (теперь мы говорим - римановы пространства).
Ответ от X.alexandr[гуру]
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс) . Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок) . Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы) , этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
[править] Определения
[править] Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), где Δxi = xi − xi − 1, называется диаметром разбиения.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора, то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т. е.
В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
[править] Через суммы Дарбу
Суммы Дарбу для разбиения на четыре интервала: нижняя (площаядь зелёного) и верхняя (площадь зелёного и серого) Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка .
Верхней суммой Дарбу для Δ называется число
Соответстенно, нижней суммой Дарбу для Δ называется
Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число
В этом случае, по определению
[править] Свойства
Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a).
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a1,b1], где .
Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c] и .
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и, то функция αf + βg тоже интегрируема, и
Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс) . Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок) . Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы) , этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
[править] Определения
[править] Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), где Δxi = xi − xi − 1, называется диаметром разбиения.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора, то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т. е.
В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
[править] Через суммы Дарбу
Суммы Дарбу для разбиения на четыре интервала: нижняя (площаядь зелёного) и верхняя (площадь зелёного и серого) Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка .
Верхней суммой Дарбу для Δ называется число
Соответстенно, нижней суммой Дарбу для Δ называется
Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число
В этом случае, по определению
[править] Свойства
Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a).
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a1,b1], где .
Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c] и .
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и, то функция αf + βg тоже интегрируема, и
Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Какой смысл у функции Римана?