периодическая дробь

Ответ от Александр Титов[гуру]
Периодическая дробь - это такая дробь, у которой, начиная с некоторого знака после запятой, повторяется определённая упорядоченная совокупность цифр бесконечное число раз. Такая совокупность называется периодом.
Например: 0,33333333...
Сразу же после запятой повторяются одни тройки бесконечное число раз. (3) - это период дроби
Или ещё:
42,345276276276276...
Начиная с третьего знака мы видим повторяющуюся структуру (276). Это - период дроби.
Такую дробь можно записать сокращённо, записывая сначала неповторяющиеся знаки после запятой, а потом в скобках - период.
Так, 0,333333... можно записать как 0,(3) - читается ноль целых и три в периоде.
42,345276276276... = 42,345(276) - читается сорок два целых триста сорок пять тысячных и двести семьдесят шесть в периоде.
Можно записывать периодические дроби, просто записав несколько знаков после запятой включая несколько повторяющихся периодов, а затем добавить многоточие. В таких ситуациях ясно, что период повторяется.
Бывают и непериодические десятичные дроби. В них нельзя выделить ни одну повторяющуюся структуру. Это, например, т. н. число е = 2,718281828459045235... Несмотря на то, что некоторые цифры здесь повторяются, но для периодичности дроби необходимо, чтобы определённая совокупность цифр повторялась бесконечное число раз.
Дроби бывают конечными и бесконечными. Так, дробь 0,3333... -бесконечная десятичная периодическая. Если дробь можно представить в виде дроби с конечным числом знаков после запятой, она яляется конечной. Такова, например, дробь 1,746. Её можно представить в виде 1,74600000....= 1,746(0), т. е. периодической дроби с периодом 0.
С другой стороны 1,7460000000 = 1,7459999999... = 1,745(9) (строгое равенство!) . Таким образом, периодические дроби с нулём или девяткой в периоде являются конечными, а остальные - бесконечными.
Все десятичные периодические дроби являются рациональными числами, т. е. такими, которые можно представить в виде отношения целого и натурального числа q = m/n, где m - целое, n - натуральное. Это - запись обыкновенной дроби. Каждую обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и притом единственным образом (исключая рассмотрение случая периодической дроби с девяткой в периоде) и обратно, каждую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби - тоже единственным способом.
Пример 1/3 - обыкновенная дробь. Если воспользоваться методом деления столбиком, в остатке будет всё время получаться 1, а в записи числа - новые тройки, так что 1/3 = 0,333333... = 0,(3).
Пусть теперь дана дробь 42,345276276276....Нужно представить её в виде обыкновенной дроби. Пусть 42,345276276276... = х. Умножим число на 1000, чтобы период начинался сразу же после запятой: 1000х = 42345,276276276...
Умножим ещё раз на 1000, тогда запятая сместится ровно на один период: 1000000х = 42345276,276276276....
Теперь
1000000х - 1000х = 42345276,276276276....-42345,276276276.. = 42302931
999000х = 42302931
х = 42302931 / 999000
Это основное в теории периодических дробей