пирамида с основанием трапеции

Ответ от MustD1e[гуру]
Объём пирамиды равен:
V=1/3*hпир*Sтр
Обозначим пирамиду так
Нижнее основание трапеции AB, правая боковая сторона BC(DA соот-но левая) , DC верхнее основание. Высота пирамиды будет E, пересечение высоты с плоскостью трапеции O.
Площадь основания равна : Sосн= (AB+CD)*hтр/2
hтр^2=30^2-(25-7)^2=900-324=576см^2
hтр=24см
Sосн=(50+14)*24/2=768см^2
Теперь как найти высоту пирамиды. Наша задача найти точку пересечения
высоты с плоскостью трапеции. Ясно, что она будет находится на прямой проходящей через середины верхнего и нижнего оснований трапеции.
Далле: во, первых все рёбра пирамиды равны между собой - 65см. Представим себе 4 прямоугольных треугольника, которые образуют рёбра пирамиды с высотой - у них общие катет (ВЫСОТА) и гипотенуза (РЕБРО пирамиды) , с учётом этого из теоремы пифагора следует, что вторые катеты всех тругольников тоже РАВНЫ ( это следовало также из признака равенства прямоугольных треугольников) .
Итак получаем: точка пересечения должна также быть РАВНОУДАЛЕНА от вершин трапеции. Найдём расстояние от точки пересечения до вершин трапеции. Точку пересечения прямой, проходящей через середину верхнего основания трапеции, с этим основанием обозначим F, с нижним G
OA - гипотенуза трAOG
OD - гипотенуза трDOF
Они должны быть равны между собой, кроме этого они равны:
OA^2=AG^2+BO^2 OD^2=DF^2+FO^2
Обозначим GO через x, тогда FO=hтр-x=24-x (hтр=FG)
И приравняем выражения для гипотенуз
AG^2+x^2=DF^2+(24-x)^2
625+x^2=49+576-48x+x^2
x=0
Т. е. точкой пересечений высоты пирамиды с основанием трапеции является точка G ( середина AB)
Тогда высота трапеции равна
AE=BE=CE=DE=65
AO=OB=OC=OD=25
OE^2=65^2-25^2
OE=60
Наконец-то, а то устал печатать) )

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
пусть SABCD пирамида, O -- проекция S на плоскость основания (т. е. SO -- высота пирамиды) . Тогда из равенства SA=SB=SC=SD следует равенство треугольников прямоугольных треугольников SOA, SOB, SOC, SOD (по общему катету SO и гипотенузе) . Отсюда следует OA=OB=OC=OD, то есть O является центром окружности, проходящей через вершины трапеции, то есть центром описанной окружности.
Площадь вписанного четырехугольника через стороны можно найти по обобщенной формуле Герона.
S=корень ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)), p=(14+30+30+50)/2=62
S=корень ((62-14)(62-30)(62-30)(62-50))=
=корень (48*32*32*12)=корень (4*32*32*12*12)=2*32*12=768
Так как вписанная трапеция всегда является равнобокой, то 30 см -- длина боковой стороны, а 14 и 50 длины сторон оснований.
Можно дальше решить как MustD1e (его решение хорошее) , а можно извратиться и действительно найти диагональ. Для определенности пусть AD=50, BC=14. Искать будем диагональ AC по теореме косинусов.
AC^2=AD^2+CD^2-2AD CD cos D=50^2+30^2-2*50*30*cos D
AC^2=AB^2+BC^2-2AB BC cos B=30^2+14^2-2*30*14*cos B
приравняем два этих выражения, а также учтем, что cos B = cos (180°-D)=-cos D
50^2+30^2-2*50*30*cos D=30^2+14^2+2*30*14*cos D
Отсюда
50^2-14^2=2*30*(50+14)*cos D
(50-14)(50+14)=60*(50+14)cos D
36=60*cos D
cos D=3/5
Тогда AC^2=50^2+30^2-2*50*30*cos D=50^2+30^2-2*50*30*3/5=
=50^2+30^2-2*30*30=50^2-30^2=(50-30)(50+30)=20*80=1600=40^2
AC=40
Найдем также sin D из основного тригонометрического тождества
sin^2 D = 1- cos^2 D = 1 - 9/25 = 16/25
sin D = 4/5
Радиус описанной окружности трапеции это радиус описанной окружности треугольника ACD (это одна и та же окружность) , поэтому он равен
AC/(2 sin D)=40/(8/5)=25
Это и есть OA=OB=OC=OD
Тогда из прямоугольного треугольника SOA
SO^2=SA^2-OA^2=65^2-25^2=(65-25)(65+25)=40*90=3600=60^2
SO=60
Объем пирамиды равен 1/3 * 60 * 768=20*768=15360

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]