представление чисел с фиксированной и плавающей запятой

Ответ от Любовь Петровна ***[новичек]
Число с фиксированной запятой — формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа.
Простейший пример арифметики с фиксированной запятой — перевод рублей в копейки. В таком случае, чтобы запомнить сумму 12 рублей 34 копейки, мы записываем в ячейку памяти число 1234.
В случае, если z < 1, для удобства расчётов делают, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u (машинную единицу) и принимают z = frac 1 u. В случае, если z > 1, его делают целым.
Если не требуется, чтобы какие-либо конкретные дробные числа входили в разрядную сетку, программисты обычно выбирают z = 2 − f — это позволяет использовать в операциях умножения и деления битовые сдвиги. Про такую арифметику говорят: «f битов на дробную часть, i=n−f — на целую» и обозначают как «i,f» или «i.f». Например: арифметика 8,24 отводит на целую часть 8 битов и 24 — на дробную. Соответственно, она способна хранить числа от −128 до 128−z с ценой (весом) младшего разряда z = 2^{-24} = 5{,}96 cdot 10^{-8}.
Для угловых величин зачастую делают z=2 pi cdot 2^{-f}
Плавающая запятая — форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.
Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.
Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее, но для этого необходимо двухразрядное дополнительное поле для записи показателей степени 10 от 0 до 1610, при этом общее число разрядов составит 8+2=10.
Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в мегафлопcах (от англ. FLOPS — число операций с плавающей запятой в секунду) , гигафлопcах и так далее, и является одной из основных единиц измерения быстродействия вычислительных систем.