Автор Tsytseeva задал вопрос в разделе Домашние задания
Докажите пожалуйста кто нибудь теорему о перпендикулярности прямой и плоскости и получил лучший ответ
Ответ от Просто Яна[эксперт]
в учебнике эта теорема доказана в стереометрии
Источник: Татьяна Папко
Ответ от Нет[гуру]
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с, принадлежащим плоскости a. А – точка пересечения прямых. В плоскости a через точку А проведем прямую d, не совпадающую с прямыми b и с. Теперь в плоскости a проведем прямую k, пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А. Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, т. к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т. е. А1С=СА2. Подобно в треугольнике А1ВА2 равны стороны А1В и ВА2. Следолвательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А1ВD и А2ВD. Значит, равны и треугольники А1ВD и А2ВD по первому признаку. Поэтому А1D и А2D. Отсюда треугольник А1DА2 равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике А1DА2 DА – медиана (по построению) , а значит и высота, то есть угол А1АD прямой, а значит прямая а перпендикулярна прямой d. Таким образом можно доказать, что прямая а перпендикулярна любой прямой проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a. Из определения следует, что прямая а перпендикулярна плоскости a.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с, принадлежащим плоскости a. А – точка пересечения прямых. В плоскости a через точку А проведем прямую d, не совпадающую с прямыми b и с. Теперь в плоскости a проведем прямую k, пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А. Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, т. к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т. е. А1С=СА2. Подобно в треугольнике А1ВА2 равны стороны А1В и ВА2. Следолвательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А1ВD и А2ВD. Значит, равны и треугольники А1ВD и А2ВD по первому признаку. Поэтому А1D и А2D. Отсюда треугольник А1DА2 равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике А1DА2 DА – медиана (по построению) , а значит и высота, то есть угол А1АD прямой, а значит прямая а перпендикулярна прямой d. Таким образом можно доказать, что прямая а перпендикулярна любой прямой проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a. Из определения следует, что прямая а перпендикулярна плоскости a.
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Докажите пожалуйста кто нибудь теорему о перпендикулярности прямой и плоскости