признаки параллелограмма с доказательством

Ответ от Gretchen[мастер]

Свойства параллелограмма
Теорема. (Свойство диагоналей параллелограмма)
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
свойства параллелограмма
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB1, равный DO.
По предыдущей теореме AB1CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С1. параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB1CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Теорема. (Свойство противолежащих сторон параллелограмма) .
У параллелограмма противолежащие стороны равны.
свойства параллелограмма
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма) , то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.
Теорема. (Свойство противолежащих углов параллелограмма) .
У параллелограмма противолежащие углы равны.
свойства параллелограмма
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая) . Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.