производная поля по направлению

Ответ от Tyron Gorefiend[гуру]
u=x²+sqrt(xyz)-xz² du/da = ?
Найдем направляющие косинусы вектора, составляющего один и тот же угол со всеми осями координат.
Известно, что cos²α+cos²β+cos²γ=1, откуда, если α=β=γ=&theta (&theta - тот самый угол) , получаем cos²θ=1/3, cosθ=sqrt(3)/3 (т. к. угол θ по условию острый) .
Теперь найдем градиент функции.
grad u = (∂u/∂x)i+(∂u/∂y)j+(∂u/∂z)k:
∂u/∂x = 2x+yz/(2sqrt(xyz))-z²;
∂u/∂y = xz/(2sqrt(xyz));
∂u/∂z = xy/(2sqrt(xyz)) - 2xz;
Значения частных производных по x,y,z в нашей точке A(1;1;1) соответственно равны 1.5 ; 0.5 ; -1.5. Таким образом, градиент в нашей точке 1.5i+0.5j-1.5k. Ну, а производная по направлению есть
1.5cosα+0.5cosβ-1.5cosγ=0.5cosθ (т. к. все 3 угла равны) = sqrt(3)/6
Источник: Домашний котишка