разложение дроби на простейшие

Ответ от Андрей Степанов[гуру]
Если дробь имеет вид: P(x)/Q(x) где P(x), Q(x) - некоторые многочлены, причем: Q(x) = (x-a1)*(x-a2)*((x-a3)^k)*...*(x^2 +px + q) То эта дробь может быть разложена на простейшие дроби: P(x)/Q(x) = A1/(x - a1) + A2/(x - a2) + A3/(x-a3)^k + A31/(x-a3)^(k - 1) + A32/(x-a3)^(k - 2) + .+A3(k-1)/(x-a3) + (Mx + N)/(x^2 +px + q) Последнее слагаемое также можно разделить, если оно имеет действительные корни. Чтобы найти коэффициенты, надо привести сумму дробей к общему знаменателю и приравнять числитель к P(x). У многочленов есть такое свойство: 2 многочлена равны, если равны коэффициент при соответствующих степенях этих многочленов. Так что приравнивая коэффициенты при 1-й степени х справа и слева, затем 2-й степени, затем 3-й и т. д. до последней, вы получите систему из n уравнений (по степени многочлена в числителе) с n неизвестными. Решаете ее и находите коэффициенты. Пример: (x-1)/{(x+5)(x - 3)(x^2 + 7)} = A1/(x+5) + A2/(x-3) + (Mx + N)/(x^2 + 7) = {A1(x-3)(x^2+7) + A2(x+ 5)(x^2+7) + (Mx + N)(x-3)(x+5)}/{(x+5)(x - 3)(x^2 + 7)} Или, раскрывая скобки в числителе: x - 1 = A1(x^3 - 3x^2 + 7x - 21) + A2(x^3 + 5x^2 + 7x + 35) + Mx(x^2 +2x - 15) + N(x^2 +2x - 15) А теперь собираем коэффициенты при соответствующих степенях. Наивысшая степень - 3. Слева таких слагаемых нет - значит коэфф. равен 0: (3) 0 = A1 + A2 + M Теперь степень 2: (2) 0 = -3A1 + 5A2 + 2M + N Теперь степень 1: (1) 1 = 7A1 + 7A2 - 15M +2N Ну и последняя степень - 0: (0) -1 = -21A1 + 35A2 - 15N Решая получившуюся систему находите коэффициенты.