Автор Old_Farter задал вопрос в разделе Наука, Техника, Языки
Как будет выглядеть разложение функции f(x)=tg(x) по формуле Маклорена порядка n=4 c остаточным членом в форме Пеано? и получил лучший ответ
Ответ от Vladislav Frank[гуру]
tg(x)=x+x^3/3+o(x^4)
Ответ от Fedorovsky[гуру]
Ряд Маклорена - это ряд Тейлора в точке x=0.
Формулу для рядов см. в прилагаемом источнике.
Там же написано, что остаточный член ряда Маклорена в форме Пеано - это всего лишь o(x^n).
tg(x) = tg(0) + x * tg'(0) + x^2 * tg''(0)/2 + x^3 * tg'''(0)/6 + x^4 * tg''''(0)/24 + o(x^4)
Сначала рассчитаем производные:
tg'(x) = 1/(cos x)^2
tg''(x) = 2*sin(x)/(cos x)^3
tg'''(x) = 2*(1 + 2 * (sin x)^2) / (cos x)^4
tg''''(x) = 8 * sin(x) * (2 + (sin x)^2) / (cos x)^5
Теперь их значения в точке x=0:
tg(0) = 0
tg'(0) = 1/(cos 0)^2 = 1
tg''(x) = 2*sin(0)/(cos 0)^3 = 0
tg'''(x) = 2*(1 + 2 * (sin 0)^2) / (cos 0)^4 = 2
tg''''(x) = 8 * sin(0) * (2 + (sin 0)^2) / (cos 0)^5 = 0
Таким образом, имеем:
tg(x) = 0 + x * 1 + x^2 * 0.2 + x^3 * 2/6 + x^4 * 0/24 + o(x^4)
и окончательно
tg (x) = x + x^3 * 3 + o(x^4)
Ряд Маклорена - это ряд Тейлора в точке x=0.
Формулу для рядов см. в прилагаемом источнике.
Там же написано, что остаточный член ряда Маклорена в форме Пеано - это всего лишь o(x^n).
tg(x) = tg(0) + x * tg'(0) + x^2 * tg''(0)/2 + x^3 * tg'''(0)/6 + x^4 * tg''''(0)/24 + o(x^4)
Сначала рассчитаем производные:
tg'(x) = 1/(cos x)^2
tg''(x) = 2*sin(x)/(cos x)^3
tg'''(x) = 2*(1 + 2 * (sin x)^2) / (cos x)^4
tg''''(x) = 8 * sin(x) * (2 + (sin x)^2) / (cos x)^5
Теперь их значения в точке x=0:
tg(0) = 0
tg'(0) = 1/(cos 0)^2 = 1
tg''(x) = 2*sin(0)/(cos 0)^3 = 0
tg'''(x) = 2*(1 + 2 * (sin 0)^2) / (cos 0)^4 = 2
tg''''(x) = 8 * sin(0) * (2 + (sin 0)^2) / (cos 0)^5 = 0
Таким образом, имеем:
tg(x) = 0 + x * 1 + x^2 * 0.2 + x^3 * 2/6 + x^4 * 0/24 + o(x^4)
и окончательно
tg (x) = x + x^3 * 3 + o(x^4)
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Как будет выглядеть разложение функции f(x)=tg(x) по формуле Маклорена порядка n=4 c остаточным членом в форме Пеано?