разложение в ряд маклорена функции

Ответ от Cooler Viktor ?[гуру]
ln(1+4x) -- исходная функция 4/(1+4x) -- первая производная -4²/(1+4x)² -- вторая производная 1*2*4³/(1+4x)³ -- третья производная -1*2*3*4⁴/(1+4x)⁴ -- четвертая производная 1*2*3*4*4⁵/(1+4x)⁵ -- пятая производная ======================= И вообще, получаем общую формулу (знак! обозначает факториал, знак ^ обозначает возведение в степень, т. е. число 4 возводится в степень n, а число -1 -- в степень n+1): ☛  [(-1)^(n+1)*(n-1)!*4^n] / (1+4x)^n -- производная порядка n ======================= Из тез формул, что написал, находим значение при x=0: 0 -- искодная функция 4 -- первая производная -16 -- вторая производная 128 -- третья производная -1536 -- четвертая 24576 -- пятая ☛  (-1)^(n+1)*(n-1)!*4^n -- производная порядка n ☛  Ряд Маклорена -- это то же самое, что ряд Тейлора в окрестности точки х₀=0. Поэтому ряд Маклорена получается, если к значению функции при x=0, написанному выше, добавить все производные n-ого порядка (при x=0), умноженные на дробь (x^n/n!), т. е получается f(x)=0 + 4*x/1 - 16*x²/2! + 128*x³/3! - 1536*x⁴/4! + 24576*x⁵/5! -…= = 4x - (4x)²/2 + (4x)³/3 - (4x)⁴/4 + (4x)⁵/5 -… -- ответик!! ! Ряд сходится абсолютно при х ∈ (-1/4; 1/4) Всего доброго, успехов в учебе. ☺ PS. Предлагаю самостоятельно записать ответ в общем виде через знак суммирования ∑...