свойства сложения векторов

Ответ от Папа медведЬ[гуру]
Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности, т. е. верно равенство:
(1)
Доказательство. Воспользуемся правилом треугольника сложения векторов. Пусть , .Тогда . Отложим вектор от точки С и обозначим его конец буквой D, так что .
Тогда по правилу треугольника . С другой стороны, отложим вектор и, ч. т. д. См. также рис. 9.
А В
D С
рис. 9.
2. Существует нулевой элемент относительно сложения векторов, т. е. нулевой вектор:
верны равенства .
3. Для любого вектора существует противоположный ему вектор, такой, что .
4. Сложение векторов подчиняется закону коммутативности, т. е. верно равенство:
.
Последнее свойство сразу же следует из правила параллелограмма сложения векторов.
Таким образом, мы видим, что множество всех векторов относительно операции сложения является абелевой группой, очевидно, бесконечной.
Пример 1. (Правило параллелограмма) Покажем, что суммой векторов, приведенных к одному началу, является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, проведенная из общего начала, т. е. AB + AD = AC (рис. 1).
Решение. По определению операции сложения (правило треугольника) :
AB + BC = AC. Так как векторы AD и BC равны по длине и одинаково направлены, т. е. AD = BC, и, следовательно, AB + AD = AC.
Пример 2. Покажем, что разность векторов AB и AD = AC, т. е. сумма векторов AB + (−AD) есть вторая диагональ параллелограмма: AB − AD = DB (рис. 1).
Решение. Так как операция вычитания является обратной по отношению к сложению, то по правилу треугольника AD + DB = AB, что и доказывает наше утверждение.
Пример 3. Даны два неколлинеарных вектора →a и →b. Покажем, что любой вектор →x, лежащий в плоскости векторов →a и →b может быть единственным образом представлен в виде
→x = α·→a + β·→b.
Решение. Представим вектор →x как диагональ параллелограмма, построенного на векторах, коллинеарных векторам →a и →b, т. е. →x = →с + →d (рис. 2).
Так как →c || →a и →d || →b, существуют числа α и β такие, что →c = α·→a и →d = β·→b. Таким образом,
→x = α·→a + β·→b(1)
Докажем теперь, что α и β определяются однозначно. Предположим противное:
→x = α1·→a + β1·→b(2)
причем α1 ≠ α или (и) β1≠β. Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем
→0 = (α−α1)·→a + (β−β1)·→b.
Пусть для определенности α1 ≠ α. Тогда
→a = β−β1 ——– α−α1 →b,
что противоречит условию неколлинеарности векторов →a и →b. Наше утверждение полностью доказано.