таблица фурье преобразований

Ответ от
Алгоритмы - Быстрое преобразование Фурье и его приложения - Преобразование Фурье и его свойства (только теория, без исходников)
Преобразование Фурье и его свойства
О преобразовании Фурье, его смысле, свойствах и применении написано много книг, поэтому здесь будут описаны только самые важные его характеристики. Эта статья - своего рода теоретическая выжимка, и для её понимания следует уже обладать базовыми знаниями в этой области. Она не является учебником по преобразованию Фурье (уже существуют такие учебники, написанные профессионалами своего дела). Скорее, эта статья поможет освежить в памяти уже полученные знания в этой области, а также поможет вспомнить полезные формулы, которые у многих людей быстро улетучиваются из головы (к этой группе отношусь и я 🙂 ).
Перед началом изложения хочу выразить благодарность Олегу Красноярову за присланное письмо, в котором были кратко рассмотрены альтернативные алгоритмы БПФ, менее известные, чем широко использующийся вариант. Практически полностью это письмо легло в основу подраздела Быстрое преобразование Фурье.
Преобразование Фурье
Итак, преобразование Фурье бывает двух видов: дискретное и непрерывное. Непрерывное используется математиками в аналитических исследованиях, дискретное применяется во всех остальных случаях.
Непрерывное преобразование Фурье - преобразование, которое применяется к функции h(t), заданной на интервале. В результате получается функция H(f):
также существует обратное преобразование, которое позволяет по образу H(f) восстановить исходную функцию h(t):
Очевидно, что образ H(f) является комплексной функцией вещественного аргумента, но также и h(t) может принимать не только вещественные, но и комплексные значения.
Применение преобразования Фурье является столь обширной темой, что этот вопрос не будет подниматься в этой статье. Можно только перечислить несколько областей: анализ сигналов, фильтрация, ускоренное вычисление корелляции и свертки, использование в алгоритмах быстрого умножения чисел, и во многих других случаях оно также находит свое применение.
Свойства непрерывного преобразования Фурье
В таблице ниже описана связь свойств прообраза h и образа H.
Если То
h(t) вещественная H(-f) = H *(f)
h(t) чисто мнимая H(-f) = -H *(f)
h(t) четная H(f) четная
h(t) нечетная H(f) нечетная
h(t) вещественная и четная H(f) вещественная и четная
h(t) вещественная и нечетная H(f) чисто мнимая и нечетная
h(t) чисто мнимая и четная H(f) чисто мнимая и четная
h(t) чисто мнимая и нечетная H(f) вещественная и нечетная
Следующая таблица показывает, как меняется образ при изменении прообраза. Пусть запись обозначает, что H(f) является образом h(t). Тогда имеют место следующие отношения:
Следующий набор свойств относится к операциям свертки и корелляции. Свертка функций g и h определяется, как. Корелляция функций g и h определяется, как. В таком случае имеют место следующие отношения:
Дискретное преобразование Фурье
С непрерывным преобразованием Фурье удобно работать в теории, но на практике мы обычно имеем дело с дискретными данными. Очень часто у нас дано не аналитическое выражение преобразуемой функции, а лишь набор её значений на некоторой сетке (обычно на равномерной). В таком случае приходится делать допущение, что за пределами этой сетки функция равна нулю, и аппроксимировать интеграл интегральной суммой:
В случае равномерной сетки эта формула упрощается. Также на равномерной сетке обычно избавляются от шага, чтобы получить безразмерную формулу:
Обратное преобразование в таком случае будет иметь вид
При внимательном рассмотрении можно заметить, что индекс при Hn принимает N+1 значение, в то время как при hk - только N значений. Таким образом, как будто бы получается, что функция H содержит в себе больше информации, чем h. На самом деле это не так, поскольку значения H-N/2 и HN/2 совпадают.