тензор определение

Ответ от Leonid[гуру]
Есть обычные числа. Масса, объём, заряд, потенциал, длина. . .Величины, которые полностью описываются одним числом, называются "скалярными". Что характерно: если мы как-то изменим систему координат - например, повернём её на какой-то угол, - то скалярные величины никак не изменятся.
Есть векторные величины. Скорость, напряжённость поля, сила. . .Тут уже важна не только численная величина такой величины (хм. . .ну и слог... ) , но и направление. Куда направлена скорость, куда направлена сила и т. д. И если мы опять повернём систему координат, то эти величины уже ИЗМЕНЯТСЯ - причём закон их изменения вполне понятен (изменение координат вектора в зависимости от того, как поворачивается система координат, - это что-то на уровне школьной геометрии) .
Наконец, есть тензоры. Это такие объекты, которые при изменении системы координат изменяются несколько более сложным образом, чем векторы. У тензоров не три компоненты, а девять (по крайней мере для трёхмерного пространства) . Примером такого тензора второго ранга (в отличие от тензоров первого ранга - векторов, и тензоров нулевого ранга - скаляров) может служить диэлектрическая проницаемость. Ведь диэлектрическая проницаемость - это у нас что? Это то, на что нужно умножить напряжённость поля, чтоб получить его индукцию. Для некоторых кристаллов направление индукции БУДЕТ ОТЛИЧАТЬСЯ от направления приложенной напряжённости, а значит, диэлектрическая проницаемость уже никак не может быть скаляром - ведь умножение на скаляр (на обычное число) направления вектора не меняет. Другой пример появления тензорной величины - рассмотрение деформации и напряжений в материале, к которому приложены внешние силы. И внешние силы, и возникающие деформации - векторные величины. Закон Гука знают все: деформация пропорциональна внешней силе. Но тут опять же есть материалы, в которых деформация зависит от того, в каком направлении приложена сила. Обычное дерево, скажем. Значит, опять же упругость - это не простой скаляр, а нечто более сложное (в сопромате как раз и рассматривается тензор Коши, связывающий деформацию и напряжения) .
Так вот, и диэлектрическая проницаемость, и упругость материалов - это примеры тензоров второго ранга. "Тензорность" тут проявляется в том, что результат внешнего воздействия (индукция - и напряжённость поля, напряжение - и деформация материала) по направлению отличается от самого воздействия. Поэтому математически тензор представляется матрицей 3х3 (в общей теории относительности появляются и более сложные тензоры) . Тогда при умножении одного вектора на такую матрицу появляется вектор, направление которого может отличаться от направления исходного, если матрица недиагональная.
Leonid
Высший разум
(381157)
При изменении системы координат компоненты вектора тоже изменяются, причём как раз по определённому правилу. Разве нет?