теорема о пересечении медиан треугольника доказательство

Ответ от Natalinka[гуру]
еорема. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть в треугольнике АBС (черт. 256) АD и ВЕ — медианы, пересекающиеся в точке О. Докажем, что и отрезок NС, проходящий через третью вершину этого треугольника и точку О, будет также медианой, т. е. AN = NВ.
Для доказательства через точку Е проведём ЕF || АD, тогда СF = FD. Разделим отрезок ВD пополам; пусть DК = КВ. Получим п1 = п2 = п3 = п4, как половины равных отрезков СD и ВD.
Через точку Kпроведём KS || АD; тогда m1 = m2 = m3, так как KS || ОD || ЕF и
п4 = п3 = п2 .
Через точки S и Е проведём SP || ОN и EQ || ОN, тогда l4 = l3 = l2, так как SР || ОN || ЕQ и m3 = m2 = m1. Кроме того, l2 = l1, так как AE = ЕС и ЕQ || СN.
Отсюда l4 = l3 = l2= l1, но l4 + l3 = NВ, а l2+ l1 = NA.
Следовательно, AN = NВ, т. е. NС является так же медианой треугольника AВС.
Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Кроме того, мы видим (черт. 256), что отрезок ОЕ составляет 1/3 ВЕ. Аналогично можно доказать, что отрезок ON составляет 1/3 СN и отрезок ОD составляет 1/3 АD. Таким образом, точка пересечения медиан в треугольнике отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей сторон