теорема о площади ортогональной проекции многоугольника

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Достаточно доказать это для треугольника, поскольку любой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников (например, в случае выпуклого многоугольника можно последовательно провести диагонали из одной вершины ко всем остальным) .
Итак, докажем утверждение теоремы для треугольника.

1) Сначала рассмотрим случай, когда одна из сторон проецируемого треугольника (обозначим её AB) параллельна плоскости проекции. В этом случае можно параллельно перенести треугольник ABC так, что сторона AB совпадёт со своей проекцией A'B'.
Проведём в треугльнике ABC высоту CH; тогда она (по теореме о трёх перпендикулярах) спроецируется в высоту C'H треугольника ABC'.Поскольку CH и CH' перпендикулярны AB (прямой пересечения плосостей ABC и ABC'), то CHC' -- угол между этими плоскостями (обозначим его alfa)
Площадь треугольника ABC равна S(ABC) = (1/2) AB * CH; площадь проекции S(ABC') = (1/2) C'H * AB.
Но C'H = CH * cos alfa, тогда S(ABC') = S(ABC) * cos alfa.
2) Пусть теперь ни одна из сторон треугольника ABC не параллельна плоскости A'B'C'. Пусть BB' < AA' < CC'. Проведём через точку A плоскость, параллельную плоскости A'B'C'. Она разобьёт треугольник ABC на два треугольника: ABD и CBD (AD параллельна плоскости A'B'C'). Тогда для треугольников ABD и CBD имеет место случай 1), пожтому для них теорема верна:
S(A'B'D') = S(ABD) * cos alfa; S(C'B;D;) = S(CBD) * cos alfa.
Складывая, получаем: S(A'B'C') = S(ABC) * cos alfa.
Что и требовалось доказать.
P. S. На самом деле утверждение теоремы верно для любых фигур, а не только для многоугольников (доказывать это нудно будет с помощью пределов, разбивая фигуру на множество маленьких многоугольников) .