теорема о причесывании ежа

Ответ от Ivan Safonov[гуру]
Теорема о причёсывании ежа утверждает, что не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере которое нигде не обращается в ноль. Иначе говоря, если f — непрерывная функция, задающая касательный к сфере вектор в каждой её точке, то существует хотя бы одна точка p такая, что f(p) = 0.
Теорема является простым следствием из теоремы о неподвижной точке, доказанной в 1912 году Брауэром.
Второй вариант «теоремы о еже» выглядит так. Пусть f — ненулевое непрерывное векторное поле на сфере. Тогда существует точка, в которой поле перпендикулярно сфере. Эту теорему можно проиллюстрировать так. Пусть сфера — свернувшийся в клубок ёж, вектор — колючка. Тогда такого сферического «ежа» нельзя причесать так, чтобы он нигде не кололся (без вихров и проборов) .
С более общей точки зрения, можно показать, что определённая сумма нулей касательного векторного поля должна равняться 2, Эйлеровой характеристике двумерной сферы, поэтому должен существовать хотя бы один нуль. Это следствие теоремы Пуанкаре о векторном поле. Для двумерного тора Эйлерова характеристика равна 0, поэтому его «можно причесать». В общем, любое непрерывное касательное векторное поле на компактном регулярном двумерном многообразии с ненулевой эйлеровой характеристикой имеет хотя бы один нуль.
Интересное метеорологическое приложение этой теоремы получается, если рассмотреть ветер как непрерывное векторное поле на поверхности планеты. Рассмотрим идеализированный случай, в котором нормальная к поверхности составляющая поля пренебрежимо мала.
Случай, когда полностью отсутствует ветер, соответствует нулевому векторному полю. Этот случай неинтересен и физически невозможен (в силу неустойчивости). Но если ветер есть, то теорема о причёсывании ежа утверждает, что на поверхности планеты всегда будет точка, в которой не будет ветра (нуль касательного векторного поля) .
Такая точка будет центром циклона или антициклона: как иголки ежа, ветер будет закручиваться вокруг этой точки (в силу непрерывности, он не может быть направлен внутрь этой точки или из нее). Таким образом, по теореме о причёсывании ежа, если на Земле дует хоть какой-то ветер, то где-то обязательно должен быть циклон. Его центр может быть сколь угодно большим, так же как и сила ветра вокруг.
Источник: wikipedia