теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

Ответ от Лариса Крушельницкая[гуру]
ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей, α – угол АОВ = COD,
180–α – угол BОC = AOD.
По теореме косинусов:
AB² = AO² + BO² – 2•AO•BO•cos α
BC² = BO² + CO² – 2•BO•CO•cos (180–α)
CD² = CO² + DO² – 2•CO•DO•cos α
AD² = AO² + DO² – 2•AO•DO•cos (180–α)
Суммируем все четыре уравнения и учитывая, что AO = CO, BO = DO, cos (180–α) = – cos α, получим:
AB² + BC² + CD² + AD² = 2AO² + 2BO² + 2AO² + 2BO²
AB² + BC² + CD² + AD² = 4AO² + 4BO²
Учитывая, что AС = 2AO, BD = 2BO, получим
AB² + BC² + CD² + AD² = AС² + BD²