теорема паскаля

Ответ от Ѐахмон Рахим[гуру]
Теорема Паскаля выполняется для всяких шестиугольников – как обычных выпуклых, так и самопересекающихся (замкнутые шестизвенные ломаные). Если даны шесть точек на окружности, то для всякой замкнутой шестизвенной ломаной, соединяющей их, существует, вообще говоря, своя «прямая Паскаля» , соединяющая точки пересечения трех пар противоположных сторон. Сколько таких прямых может быть?
Решение
Из шести точек существует P6 = 6! перестановок. Однако в ряде случаев разные перестановки обозначают одну и ту же ломаную. А именно, одна и та же ломаная A1B1C1A2B2C2 может быть названа также B1C1A2B2C2A1, C1A2B2C2A1B1 и т. д. , т. е. начиная с любой из шести вершин, причем как в «прямом» , так и в «обратном» направлении: C2B2A2C1B1A1, A1C2B2A2C1B1 и т. д. При таких перестановках не меняются противоположные и смежные вершины, а значит, не меняется и «прямая Паскаля». Таким образом, в списке всех 6! перестановок каждая ломаная упомянута ∙ 6 = 12 раз. Общее число ломаных 6! / 12 = 5! / 2 = 60. Таково же и число прямых Паскаля для данных 6 точек.
Паскаль показал, что из этой теоремы следует много интересных фактов теории конических сечений. Дело в том, что с помощью центрального проектирования окружность можно перевести в любое коническое сечение: теорема Паскаля будет выполняться, таким образом, для шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение. Если считать пару пересекающихся прямых предельным положением гиперболы, а пару параллельных прямых – пересекающимися в бесконечно удаленной точке, то теорема Паскаля распространится и на «шестиугольник, вписанный в две прямые» – шесть точек, расположенных на двух прямых, т. е. на ситуацию, о которой говорится в теореме Паппа: ее, таким образом, можно рассматривать как частный случай теоремы Паскаля.
Итальянский математик Дж. Чева в сочинении, вышедшем в 1678 г. , развил интересный метод доказательства различных теорем, основывающийся на применении понятия центра тяжести. Наибольшую известность получила следующая теорема Чевы. Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой, точки D, E и F лежат на отрезках, соответственно, AB, BC и CA. Если прямые CD, AE и BF пересекаются в одной точке, то (AD / DB) ∙ (BE / EC) ∙ (CF / FA) = 1. Верно и обратное: если точки A, B и C не лежат на одной прямой, точки D, E и F лежат на отрезках, соответственно, AB, BC и CA и выполняется равенство (AD / DB) ∙ (BE / EC) ∙ (CF / FA) = 1, то прямые CD, AE и BF пересекаются в одной точке. Прямая и обратная теорема Чевы вытекают друг из друга, как и прямая и обратная теоремы Менелая.
Источник: Перспектива. Теоремы Дезарга, Паскаля и Чевы