Параллелограмм вариньона
Автор Їёткий Парень задал вопрос в разделе Естественные науки
Кто может скинуть доказательство теоремы вариньона(формулировка в пояснениях) и получил лучший ответ
Ответ от CREATOR-00[гуру]
это не теорема Вариньона, а геометрический факт
аксиома!!!
Ответ от Mikhail Levin[гуру]
ну то, что эо паралелограмм - очевидно.
проведи одну диагональ первого 4-угольника. Стороны нового - средние линии получишихся треугольников, значит они параллельны этой диаганали и друг другу.
Ну а с площадью мне на глаз неочевидно.. . На худой конец - выразить аналитически через координаты.
ну то, что эо паралелограмм - очевидно.
проведи одну диагональ первого 4-угольника. Стороны нового - средние линии получишихся треугольников, значит они параллельны этой диаганали и друг другу.
Ну а с площадью мне на глаз неочевидно.. . На худой конец - выразить аналитически через координаты.
Ответ от Tergena[гуру]
Теорема Вариньона. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.
Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник, а K, L, M и N - середины его сторон. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно AC. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, а NK параллельно BD. Следовательно, KL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN - параллелограмм. Площадь этого параллелограмма - KL·KN·sinNKL =
¼·AC·BD·sinDOC = ½SABCD.
Теорема доказана.
Но сначала нужно доказать, что
Теорема . Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.
Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник. Пусть также O - точка пересечения диагоналей. Тогда
SABCD = SABO + SBCO +SCDO + SDAO =
= ½(AO·BO·sinРAOB + BO·CO·sinBOC +
+ CO·DO·sinCOD + DO·AO·sinAOD) =
= ½·sinBOC·(AO + CO)·(BO + DO) =
= ½·sinBOC·AC·BD.
Теорема доказана.
Удачи !
Теорема Вариньона. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.
Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник, а K, L, M и N - середины его сторон. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно AC. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, а NK параллельно BD. Следовательно, KL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN - параллелограмм. Площадь этого параллелограмма - KL·KN·sinNKL =
¼·AC·BD·sinDOC = ½SABCD.
Теорема доказана.
Но сначала нужно доказать, что
Теорема . Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.
Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник. Пусть также O - точка пересечения диагоналей. Тогда
SABCD = SABO + SBCO +SCDO + SDAO =
= ½(AO·BO·sinРAOB + BO·CO·sinBOC +
+ CO·DO·sinCOD + DO·AO·sinAOD) =
= ½·sinBOC·(AO + CO)·(BO + DO) =
= ½·sinBOC·AC·BD.
Теорема доказана.
Удачи !
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Кто может скинуть доказательство теоремы вариньона(формулировка в пояснениях)