улыбка волатильности

Ответ от Ѓженок[гуру]
С опционной волатильностью связано понятие кривой волатильности, для построения которой выбираются определенные серии опционов.
Стремительное развитие рынка производных инструментов предопределило и развитие различных методов стоимостной оценки опционов. С появлением модели Блэка-Шоулза (Black&Sholes, 1973) количество численных методов, используемых для оценки деривативов, выросло в геометрической прогрессии. Однако, несмотря на обилие работ, формула Блэка-Шоулза в силу ее простоты и эффективности и сегодня широко применяется на практике профессиональными трейдерами.
Одной из главных проблем при оценке стоимости опционов остается волатильность базового актива. Дело в том, что напрямую волатильность измерить не представляется возможным. Поэтому используется т.н. опционная волатильность (implied volatility), которая рассчитывается подстановкой в теоретическую формулу или в численный метод известных данных (цены опциона, цены исполнения, времени до экспирации, цены базового актива и процентной ставки). В результате данной подстановки получаем фактическую цену сделки.
Если по формуле Блэка-Шоулза
Понятие «улыбка волатильности» относится к форме кривой волатильности. Улыбка волатильности – это зависимость между ценой исполнения опциона и опционной волатильностью.
Для лучшего понимания эффекта улыбки нужно вспомнить паритет опционов колл и пут, который гласит, что в отсутствие арбитража, европейские серии опционов колл и пут будут равны. Следовательно, если при оценке опционов использовалась формула Блэка-Шоулза, то опционные волатильности колл и пут будут также равны. Цены опционов колл и пут по модели Блэка-Шоулза выглядят следующим образом:
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_f1.jpg
где S – цена базового актива, X – цена исполнения опциона, r – процентная ставка, T – время до экспирации, а N – логнормальное распределение.
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_f2.jpg
Так как опционная волатильность держится на предположениях о правильности используемой модели, все опционные контракты на один и тот же базовый актив должны иметь одинаковую волатильность. Действительно, если трейдеры руководствуются условиями модели, то в случае различия опционных волатильностей на разных ценах исполнения, продавцы сконцентрируют спрос на наиболее дорогих опционах, а покупатели – на более дешевых, что приведет к равенству цен в терминах волатильности.
Однако на практике это оказывается совсем не так. Одно из предположений модели относительно того, что цены базового актива полностью описываются геометрическим броуновским движением, не выполняется.
Разные сроки и цены исполнения опционов приводят к тому, что опционные волатильности отличаются друг от друга. Эмпирические исследования показали, что опционы «по цене контракта» (at-themoney) более чувствительны к волатильности, нежели опционы «вне денег« (outofthe-money) и опционы «в деньгах» (inthe money). Поэтому кривая волатильности имеет улыбкообразную форму, и создается т.н. эффект улыбки
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_p1.jpg
Хотя повсеместно и принято называть данный феномен улыбкой волатильности, тем не менее, форма улыбки не всегда может быть таковой. Кривая волатильности имеет различные формы в зависимости от времени и базового актива, что может быть объяснено различиями в рыночных микроструктурах базового актива.
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_p5.jpg
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_p4.jpg
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_p3.jpg
http://www.spekulant.ru/files/images/2006/10/st12_p2.jpg
Таким образом, на каждом опционном рынке существует своя уникальная улыбка. Для наглядности рассмотрим опцион на валюту и опцион на акции и их улыбки волатильностей.