время падения тела с высоты формула

Ответ от Олег Пестряков[гуру]
На высоте 5 км давление и плотность воздуха примерно вдвое меньше чем у земной поверхности. У поверхности Земли в Европейской зоне плотность в среднем равна ρ=1,258 кг/м3, на высоте 5 км - 0,735. Также нужно учесть снижение веса камня P=mg, на высоте 5 километров g будет не 9,81 а 9,79 и камень уже будет весить 199,7 кг. Далее вес его будет увеличиваться по закону P(6371/(6371+hкм)) ² Можно, конечно, учитывая, что эти изменения незначительны, поставить среднее значение g=9,8 и не заморачиваться, здесь даже интегрировать не надо. Сначала выясним, до какой скорости разгонится камень первоначально, подставив плотность воздуха на высоте 5 км в простую Формулу
V=√(2mg/cSρ). Аэродинамический коэффициент сопротивления камня, по форме близкого к шару, для дозвуковых скоростей равен примерно c=0,4; m - масса камня в кг, S - площадь его поперечного сечения, м², V - скорость м/с. Затем узнаем, сколько метров понадобилось для разгона:
L(м) =m*V²/2/√((g*m-c*S*ρ*V²/2)*g*m) и вычтем участок разгона из общей высоты 5 км. Далее камень будет плавно терять скорость по мере увеличения плотности воздуха. На участке торможения уже можно подставить среднее значение плотности воздуха ρ, меняющейся с высотой по экспоненциальному закону ρ*e^(nh) где n=-0,1075; h - высота в км. Если интегрировать, то от земли до 5 километров средняя плотность воздуха составит 0,9732 кг/м3. Её нужно подставить в формулу
V=√(2mg/cSρ), в итоге получив среднюю скорость на участке торможения. Средняя скорость на участке разгона с учетом сопротивления среды равна:
V=√(2L²/m²*(√((gmcSρ/2)²+g²m^4/L²)-gmcSρ/2)) где L - участок разгона в метрах. Дальше считаем по средним скоростям время на участках разгона и торможения и суммируем.
Единственное, что можно подкорректировать для большей точности, это посчитать среднюю плотность воздуха на участке разгона. Но тогда и температуру и влажность надо учитывать, настоящий коэффициент сопротивления камня в режиме свободного падения, когда центр масс ниже центра давлений, для чего есть аэродинамические трубы, камень при падении может начать вращаться или попасть в восходящий поток, в общем возможны неожиданности.