Вычисление площади через интеграл
Автор Elena atochkina задал вопрос в разделе Естественные науки
Как вычислить площадь фигуры через интеграл,если у меня только рисунок ,а функция,образующая данный график я не знаю? и получил лучший ответ
Ответ от Alexey Glazov[гуру]
Никак нельзя по этому рисунку вычислить площать!!! !
Почему?
1. Не даны пределы интегрирования (левая и правая граница)
2. Ничего не известно про значения функции.
Скорее всего ты что-то не договариваешь об условиях задачи. Тут конечно многие правильно написали про аппроксимацию. Чисел-то все равно нет. Если бы ты владела всеми этими методами, то и про интеграл не спрашивала
Ответ от Vladimir Andreev[гуру]
Ваш вопрос демонстрирует самое распространённое заблуждение: будто интеграл можно вычислить лишь для функций, которые описываются простыми формулами. Леночка, это просто чушь. Например, содержание хлорофилла в растении не описывается простой формулой, а представляет собой результат влияния самых разных факторов на пигментный состав. Нет простой формулы для описания содержания хлорофилла, пригодной на все случаи действительности. Между тем любой спектрофотометр сможет записать спектр поглощения пигментов, экстрагированных из любого листочка. Чем-то он будет похож на представленный Вами график. Чтобы вычислить интеграл надо лишь найти сумму величин всех ординат с любым выбранным шагом. Например определяем ординату при 400 нанометрах, её складываем с ординатой при 401 нанометре, к полученной сумме прибавляем ординату при 402 нанометрах и т. д. действуем во всей заданной области. Вы наверное догадались, что интеграл (площадь фигуры под графиком) мы представляем как сумму площадей прямоугольников, основание каждого из которых равно 1 нанометру, а высота соответствует величине ординаты очередной точки на графике. Очень жаль, что выскочка от математики, написавший учебник по матанализу не снизошел до того, чтобы растолковать эту простую истину своим читателям. Очень жаль!
Ваш вопрос демонстрирует самое распространённое заблуждение: будто интеграл можно вычислить лишь для функций, которые описываются простыми формулами. Леночка, это просто чушь. Например, содержание хлорофилла в растении не описывается простой формулой, а представляет собой результат влияния самых разных факторов на пигментный состав. Нет простой формулы для описания содержания хлорофилла, пригодной на все случаи действительности. Между тем любой спектрофотометр сможет записать спектр поглощения пигментов, экстрагированных из любого листочка. Чем-то он будет похож на представленный Вами график. Чтобы вычислить интеграл надо лишь найти сумму величин всех ординат с любым выбранным шагом. Например определяем ординату при 400 нанометрах, её складываем с ординатой при 401 нанометре, к полученной сумме прибавляем ординату при 402 нанометрах и т. д. действуем во всей заданной области. Вы наверное догадались, что интеграл (площадь фигуры под графиком) мы представляем как сумму площадей прямоугольников, основание каждого из которых равно 1 нанометру, а высота соответствует величине ординаты очередной точки на графике. Очень жаль, что выскочка от математики, написавший учебник по матанализу не снизошел до того, чтобы растолковать эту простую истину своим читателям. Очень жаль!
Ответ от KoderZ[гуру]
Можна сделать несколькими способами. Во первых методом приблеженных функций, функция очень похожа на затухающий синус, нужно только подобрать угол, масштаб, смещение и коофициент затухания, например
y = c+b*sin(a+x)/(x*d)
, где
a - смещение по ох
b - масштаб
c - смещение по оу
d - затухание
дальше интегрируешь на заданом участке и получаешь результат.
Во вторых численные методы - можно разбить участок на ное количество подучастков линиями по вертикали, через среднюю точку по высоте функции проводишь горизонталь для каждого участка - получаешь кучу прямоугольных столбиков площадь которых вычислить, а потом сложить думаю не составить труда. Да и от того на какое количество разобьешь зависит точность: чем больше, тем выше точность.
Третее - статистический метод: ограничиваешь рисунок минимальным прямоуголькиком, в который входит твоя фигура, тыкаешь случайным образом точки, считаешь сколько попадает в фигуру, а сколько за ею. Зная площадь прямоугольника делишь на количество всех точек, умножаешь на количество тех что попали в фигуру, получаешь то, что хотела (это метод Монтекарло) . А вообще их еще больше, надеюсь это поможет 🙂
Можна сделать несколькими способами. Во первых методом приблеженных функций, функция очень похожа на затухающий синус, нужно только подобрать угол, масштаб, смещение и коофициент затухания, например
y = c+b*sin(a+x)/(x*d)
, где
a - смещение по ох
b - масштаб
c - смещение по оу
d - затухание
дальше интегрируешь на заданом участке и получаешь результат.
Во вторых численные методы - можно разбить участок на ное количество подучастков линиями по вертикали, через среднюю точку по высоте функции проводишь горизонталь для каждого участка - получаешь кучу прямоугольных столбиков площадь которых вычислить, а потом сложить думаю не составить труда. Да и от того на какое количество разобьешь зависит точность: чем больше, тем выше точность.
Третее - статистический метод: ограничиваешь рисунок минимальным прямоуголькиком, в который входит твоя фигура, тыкаешь случайным образом точки, считаешь сколько попадает в фигуру, а сколько за ею. Зная площадь прямоугольника делишь на количество всех точек, умножаешь на количество тех что попали в фигуру, получаешь то, что хотела (это метод Монтекарло) . А вообще их еще больше, надеюсь это поможет 🙂
Ответ от Shark[мастер]
см. тему : Двойной интеграл.
см. тему : Двойной интеграл.
Ответ от Gerostrat[гуру]
Как то всё усложнено. Давайте всё по порядку.
1. Аналитика для функции неизвестна. Аппрокимируем функцию, напремер степенным полиномом. В данном случае наверное хватит третьей степени (наблюдаю два экстремума) . Если хотим точно подогнать и на концах (особенно правый хвост функции) то степень возмем 4.
2. Вооружаемся МНК (метод наименьших квадратов) и выисляем коэффициенты аппроксимации.
3. Зная верхний и нижний предел вычисляем искомый интеграл.
Численно задача может быть решена без особых усилий например в MathCAD, там даже проще можно сделать, не прибегая к явной аппроксимации расчет выпонить с помощью сплайнов.
Дерзайте))
Как то всё усложнено. Давайте всё по порядку.
1. Аналитика для функции неизвестна. Аппрокимируем функцию, напремер степенным полиномом. В данном случае наверное хватит третьей степени (наблюдаю два экстремума) . Если хотим точно подогнать и на концах (особенно правый хвост функции) то степень возмем 4.
2. Вооружаемся МНК (метод наименьших квадратов) и выисляем коэффициенты аппроксимации.
3. Зная верхний и нижний предел вычисляем искомый интеграл.
Численно задача может быть решена без особых усилий например в MathCAD, там даже проще можно сделать, не прибегая к явной аппроксимации расчет выпонить с помощью сплайнов.
Дерзайте))
Ответ от LeBron James[гуру]
ну там вроде есть формулы.. . с помощью интегралов (определенного причем) можно площади фигуры найти... ну мож я чето путаю
ну там вроде есть формулы.. . с помощью интегралов (определенного причем) можно площади фигуры найти... ну мож я чето путаю
Ответ от Spathi[гуру]
Приближенную функциию (справедливую для того участка, для которого вы считаете площадь) можно найти методом регрессионного анализа. Но так как, у вас скорее всего известная зависимость, то возьмите несколько точек и экстраполируйте функцию.
Более того, чтобы посчитать площадь совершенно необязательно знать эту функцию. Можете воспользоваться численными методами чтобы подсчитать интеграл. Самое простое - разбейте кривую на большое число прямоугольников одинаковой ширины, и посчитайте площадь кадждого. Сложив, получите площадь области с некоторой погрешностью
Приближенную функциию (справедливую для того участка, для которого вы считаете площадь) можно найти методом регрессионного анализа. Но так как, у вас скорее всего известная зависимость, то возьмите несколько точек и экстраполируйте функцию.
Более того, чтобы посчитать площадь совершенно необязательно знать эту функцию. Можете воспользоваться численными методами чтобы подсчитать интеграл. Самое простое - разбейте кривую на большое число прямоугольников одинаковой ширины, и посчитайте площадь кадждого. Сложив, получите площадь области с некоторой погрешностью
Ответ от Aress[гуру]
Востон.. . у вас есть все -, выберите масштаб, а функция до нельзя простая, вспомните геометрию за 7 класс
Востон.. . у вас есть все -, выберите масштаб, а функция до нельзя простая, вспомните геометрию за 7 класс
Ответ от Андрей Боженеко[активный]
если он будет щедрым, то не станет богатым
если он будет щедрым, то не станет богатым
Ответ от Alexandr[гуру]
да никак! наверное ты неправильно трактовала задачу? мало того: надо ещё знать и пределы. . ну нижний предел понятно: 0, а верхний?
да никак! наверное ты неправильно трактовала задачу? мало того: надо ещё знать и пределы. . ну нижний предел понятно: 0, а верхний?
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Как вычислить площадь фигуры через интеграл,если у меня только рисунок ,а функция,образующая данный график я не знаю?