вычислить криволинейный интеграл

Ответ от Крылова александра[новичек]
Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией, где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).
Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис. 1Рис. 2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
Интеграл не зависит от ориентации кривой;
Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 ∪ C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением, то
Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением, то
В полярных координатах интеграл выражается формулой
где кривая C задана в полярных координатах функцией .
Пример 1
Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).
Решение.
Рис. 3Рис. 4
Пример 2
Вычислить интеграл, где C − дуга окружности .
Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:
Тогда, применяя формулу
в плоскости Oxy, получаем
Пример 3
Вычислить интеграл, где C − кривая, заданная уравнением .
Решение.
Используем формулу
Здесь
Следовательно,
Пример 4
Вычислить интеграл, где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше) .
Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.
Применяя формулу
находим искомый криволинейный интеграл.
Пример 5
Вычислить интеграл, где кривая C задана параметрически в виде .
Решение.
Применяя формулу
можно записать
Пример 6
Вычислить криволинейный интеграл, где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).
Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.
По формуле
находим данный интеграл
Рис. 5Рис. 6
Пример 7
Найти криволинейный интеграл, где кривая C является дугой эллипса, лежащей в первом квадранте (рисунок 6).
Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.
Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле
заданный интеграл преобразуется следующим образом
Сделаем замену. Положим . Тогда
Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным
Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.
Если u = 0, то, и соответственно, если u = a, то . Таким образом,