взаимно однозначные отображения

Ответ от Антон Грудкин[новичек]
Если у вас есть два множества Х и Y, и вы начинаете сопоставлять элементам из X элементы из Y (каждому элементу из X ставите в соответствие какой-нибудь один элемент из Y), то вы тем самым устанавливаете, как говорят, отображение из X в Y. Если вы хорошо постарались, то и ваше отображение может оказаться достаточно хорошим. Например, может оказаться так, что разным элементам из X вы сопоставили разные элементы из Y. В таком случае ваше отображение называется инъективным отображением (или инъекцией) X в Y. Если же вам удалось сделать так, что каждому элементу из Y соответствует какой-нибудь элемент из X, то вы установили сюръективное отображение (или сюръекцию) из Х на Y (обратите внимание на предлоги: инъекция - X в Y, сюръекция - X на Y).
Собственно, биекцией, или взаимно-однозначным соответствием, будет являться отображение, которое одновременно сюръективно и инъективно, т. е. одновременно является и сюръекцией и инъекцией. Это означает, что разным элементам из Х вы сопоставляете разные элементы из Y, при этом каждому элементу из Y вы сопоставляете какой-нибудь элемент из X. В сумме это и значит, что каждому элементу из X ставится в соответствие ровно один элемент из Y.
Биективность взаимно-однозначного отображения позволяет ставить в соответствие элементам из Y элементы из X по обратному закону (т. е. если вы какому-то элементу x1 из X поставили в соответствие элемент y1 из Y, то при обратном отображении вы элементу y1 сопоставите элемент x1). Проблем при этом не возникнет: сюръективность гарантирует нам, что каждому элементу из Y мы сможем что-нибудь сопоставить, а инъективность - что нам не придётся ставить два элемента из X одному элементу из Y (иначе наше сопоставление не будет однозначным). В итоге получается новое отображение, которое называют обратным отображением. Оно тоже будет биекцией.
В теории множеств есть такая характеристика множества - его мощность. Это что-то вроде количества элементов в нём. Понятно, что если вы возьмёте два множества, между которыми вы сумели установить взаимно-однозначное соответствие, то количество элементов в них одинаково (если множества конечны, иначе разговор несколько усложняется). Такие множества теория множеств практически не различает между собой, потому как вы можете просто заменить элементы одного множества элементами другого, что теорию множеств абсолютно не интересует.

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]