xy y lnx

Ответ от Андрей Мельников[гуру]
xy'+y=y^2lnx
Уравнение Бернулли. Решается заменой z(x)=1/y
z'=-y'/y²
Разделим уравнение на y², отметив, что y=0 ---решение
xy'/y²+1/y=ln(x)
-xz'+z=ln(x)
z'-z/x=-ln(x)/x ---линейное уравнение.
Общее решение однородного уравнения
z'-z/x=0
∫1/z*dz=∫1/x*dx
ln(z)=ln(x)+C
z=Cx
Частное решение неоднородного уравнения:
C(x)*x
C'*x=-1/x*ln(x)
∫dC=-∫ln(x)/x²*dx
∫ln(x)/x²*dx=-∫ln(x)d(1/x)=-ln(x)/x+∫1/x²*dx=-ln(x)/x-1/x
C(x)=ln(x)/x+1/x
Общее решение: z=C*x+ln(x)+1
y=1/z=1/(C*x+ln(x)+1)
y=0 так же является решением
y(1)=1/(C+1)=1
C=0
y=1/(ln(x)+1)