y x 3x 2

Ответ от Ѐустам Искендеров[гуру]
Разве в учебнике нет - исследование функции с последующим построением её графика?
1) х может принимать любые значения. При этом и у приобретает неограниченные "в обе стороны" значения. Следовательно, область определения функции - вся числовая ось. Область значений функции - неограничена.
2) Функция не четна и не нечетна, ибо у1= (-х) 3- (-х) 2= - (х3+ х2); а это не равно ни у, ни - у.
3) Решая уравнение х^3- х^2= 0, находим, что функция имеет два корня: х= 0 и х= 1. То есть график при этих и лишь при этих значениях х имеет общую точку с осью абсцисс. Притом он проходит через начало координат.
4) Для определения критических точек первую производную y'= 3x^2- 2x приравниваем нулю и находим: х1= 0, х2= 2/3. В этих точках функция может иметь экстремумы. Чтобы выяснить это, находим значения второй производной y"= 6x- 2 в указанных точках: у"(0)= -2, у"(2/3)= 2. Следовательно, при х= 0 функция имеет максимум, а при х= 2/3 - минимум. Вычислим значения функции в этих точках: у (0)= 0, у (2/3)= 8/27- 4/9= - 4/27= -0,148.
5) Приравнивая у"= 6х- 2 нулю, определим точку поворота графика: х= 1/3. Значение функции в этой точке у (1/3)= 1/27- 1/9= - 2/27= - 0,074.
6) Вычислим значения функции ещё в трёх точках, скажем. при х= -2, х= 2 и х= 3: у (-2)= -8- 4= -12, у (2)= 8- 4= 4 и у (3)= 27- 8= 15.
Итак, имеем точки графика: (-2;-12), (0; 0)- максимум, (1/3;-0,074) - поворот, (2/3;-0.148)- минимум, (1; 0)- точка пересечения оси абсцисс, (2; 4) и (3; 15). Всего 7 точек - достаточно, чтобы чертить график.