Автор NeJames neBond задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Помогите плз с задачами: Показать что ф-ция z=ln(y^2+x^2) удовлетворяет уравнению 1/x*dz/dx+1/y*dz/dy=z/(y^2) и получил лучший ответ
Ответ от Ѓдачник[гуру]
1) Есть функция: z = ln (y^2 + x^2) и диф. ур. 1/x*dz/dx + 1/y*dz/dy = z/y^2. Нужно проверить, что функция удовлетворяет уравнению.
Находим частные производные:
dz/dx = 2x/(y^2 + x^2), dz/dy = 2y/(y^2 + x^2)
Подставляем их в уравнение:
1/x * 2x/(y^2 + x^2) + 1/y * 2y/(y^2 + x^2) = z / y^2
2/(y^2 + x^2) + 2/(y^2 + x^2) = 4 / (y^2 + x^2) = ln (y^2 + x^2) / y^2
4y^2 / (y^2 + x^2) = ln (y^2 + x^2)
Не получается чего-то.
2) Линия.
4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0
4x^2 - 8x + 4 + 9y^2 - 36y + 36 - 36 = 0
4(x -1)^2 + 9(y-2)^2 = 36
(x -1)^2/9 + (y-2)^2/4 = 1
Это уравнение эллипса с центром А (1, 2) и полуосями 3 по оси Х и 2 по оси Y.
нужно выделить полный квадраты и преобразовать к каноническому виду. в итоге получим, что линия это эллипс с центром в точке (-1;-2) а для функции, там как я понял, нужно решить уравнение с частными производными и показать, что решением является функция z = ln(x^2+y^2)
4x²+9y²-8x+36y+4=0 4(x²-2x+1)-4+9(y²+4y+4)-36+4=0 4(x+1)²+9(y+2)²=36 (x+1)²/9+(y+2)²/4=1 Положим X=x+1; Y=y+2 X²/9+Y²/4=1 - каноническое уравнение эллипса с полуосями а=3, b=2 и центром О'(-1;-2) находим частные производные ∂z/∂x=2x/(x²+y²) ∂z/∂x=2y/(x²+y²) 1/x*2x/(x²+y²)+1/y*2y/(x²+y²)=4/(x²+y²)