1 cosx ctgx 2

Ответ от Hippie[гуру]
№1.
Ответ: x1=(2k+1)Pi, x2=(2k+1/2)Pi
Поскольку
1+cos(x)=2cos^2(x/2)=2cos(x/2)sin(x/2)ctg(x/2)=sin(x)ctg(x/2) (при условии, что ctg(x/2) существует) ,
то уравнение можно переписать в виде
(sin(x)-1)ctg(x/2)=0.
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) ctg(x/2)=0. х/2=(k+1/2)Pi. х=(2k+1)Pi.
2) sin(x)=1 и ctg(x/2) существует. х=(2k+1/2)Pi.
№2.
Ответ: x1=(2k+1)Pi-arksin(4/5), x2=2k*Pi-arksin(3/5).
Поскольку cos^2(x)+sin^2(x)=1, то sin(2x)=2sin(x)cos(x)=(sin(x)+cos(x))^2-1.
Сделав в уравнении замену t=sin(x)+cos(x), получаем:
5t^2-11t+2=0.
Решая это уравнение, находим t=2 или t=1/5.
Но sin(x)+cos(x) < 2, поэтому решение t=2 не подходит.
Следовательно,
sin(x)+cos(x)=1/5,
sin(x)cos(x)=((1/5)^2-1)/2=-12/25,
т. е.
sin(x)=4/5, cos(x)=-3/5,
или
sin(x)=-3/5, cos(x)=4/5,
В первом случае x=Pi-arcsin(4/5)+2k*Pi=(2k+1)Pi-arksin(4/5),
во втором случае x=arcsin(-3/5)+2k*Pi=2k*Pi-arksin(3/5).