ctg 2x 3

Ответ от Ёкуби-ду ***[гуру]
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
сos px = a;sin gx = b;tg kx = c;ctg tx = d.
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – 2 sin2 x = 2 cos2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x;
cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg3 x)/(1 – 3 tg2 x);
ctg 3x = (ctg3 x – 3ctg x)/(3ctg2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a2 + b2), cos y = a/v(a2 + b2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a2 + b2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + (tg2 (a/2));
cos a = (1 – tg2 (a/2))/(1 + (tg2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т. е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a2 + b2 + c2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение: sin x + cos2 х = 1/4.
Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos2 х через sin2 x
sin x + 1 – sin2 x = 1/4
4 sin2 x – 4 s