неопределенность 0 0

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
1) (1/cosx - 1/(П-2x))=(П-2x-cosx)/(cosx*(П-2x))
при x->П/2 возникает неопределенность 0/0
берем производную от числителя и знаменателя
(П-2x-cosx)'=-2+sinx
(cosx*(П-2x))=-sinx*(П-2x)+cosx*(-2)
В точке x=П/2
-2+sinx=-1
-sinx*(П-2x)+cosx*(-2)=0
Таким образом, по правилу Лопиталя получается, что предел бесконечен (-1/0).
2) ctg^2 x-1/x^2 = 1/tg^2 x - 1/x^2 = (1-(tgx/x)^2)/tg^2 x
при x->0 возникает неопределенность 0/0 (т. к. tgx/x -> 1)
берем производные от числителя и знаменателя
(1-(tgx/x)^2)'=2(sin^2 x - x tg x)/(x^3 cos^2 x)
(tg^2 x)'=2 tg x/cos^2 x
разделив производную числителя на производную знаменателя получим
(sin^2 x - x tg x)/(x^3 tgx)=(1/2 sin 2x - x)/x^3
опять возникает неопределенность 0/0
несколько раз берем производные от числителя и знаменателя, пока одна из производных не станет отлична от нуля при x=0
1-й раз:
(1/2 sin 2x - x)'=cos 2x - 1 = 0 при x=0
(x^3)'=3x^2 = 0 при x=0
2-й раз:
(cos 2x - 1)'=-2 sin 2x = 0 при x=0
(3x^2)'=6x = 0 при x=0
3-й раз
(-2 sin 2x)'=-4 cos 2x = -4 при x=0
(6x)' = 6 = 6 при x=0
тогда предел равен -4/6=-2/3
3) Видимо имеется в виду односторонний предел lim x->+0
lim (1-x)^lnx это предел выражения со степенью
Для взятия таких пределов используют монотонность и непрерывность e^x, которая приводит к правилу: lim f = lim e^(ln f)=e^lim ln f, если предел вообще существует.
для данного случая
ln((1-x)^lnx)=lnx*ln(1-x)=lnx/(1/ln(1-x))
Теперь имеем неопределенность беск/беск, так как 1/lnx -> 0 при x->+0
берем производные от числителя и знаменателя
(lnx)'=1/x
(1/ln(1-x))'=1/((1-x) ln^2 (1-x))
разделив производную числителя на производную знаменателя, получим
((1-x) ln^2 (1-x))/x
при x-> 0 получаем неопределенность 0/0
снова берем производные от числителя и знаменателя
((1-x) ln^2 (1-x))'=-2ln(1-x)-ln^2 (1-x) = 0 при x=0
x'=1= 1 при x=0
Тогда предел равен 0/1=0