Автор Екатерина Мурашкина задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
векторы и получил лучший ответ
Ответ от Mihail-Nor[гуру]
1) Найдём векторы-диагонали A и B. A=a+b = 2i+j-j+k = 2i+k. B = a-b = 2i+j+j-k = 2i+2j-k.
2) Найдём скалярное произведение векторов A и B. Скалярное произведение векторов это произведение их длин на косинус угла между ними. Углы между векторами i,j,k равны все 90 градусов (косинус 90 градусов это 0), а длины у этих векторов равны 1. Этим и воспользуемся:
A*B = (2i+k)*(2i+2j-k) = 4i^2+2ik+4ij+2jk-2ik-k^2=4*1+0+0+0+0-1=3.
2) Скалярное произведение - это произведение длин векторов на косинус угла между ними. Длины A = корень (2^2 + 1^2) = корень (5); B = корень (2^2+2^2+(-1)^2) = 3.
3) Значит, приравнивая скалярные произведения векторов A и B:
3 = корень (5)*3*cos(X), где X - угол между векторами A и B. Отсюда:
cos(X)=1/корень (5).
Отсутстие знака "-" показывает, что угол именно острый (если бы был тупой, то пришлось бы отнимать от 180 полученный X - убирать минус, чтобы был острый по условию) .
Тогда X=arccos(1/корень (5)).
Ответ: arccos(1/корень (5)).
Для начала найдем вектора, являющиеся диагоналями параллелограмма. Для наглядности нарисуйте рисунок - два вектора а и b исходящие из одной точки и постройте на них параллелограмм, проведите его диагонали.
Теперь внимательно посмотрите: длинная диагональ - это вектор, являющийся суммой векторов а и b (вектора складываются как раз по правилу параллелограмма) , а короткая диагональ - это вектор, являющийся разностью между векторами а и b (разность векторов вычисляется по правилу треугольника) .
Найдите эти вектора (сумму и разность) . Только одно замечание - находите вектор b-a, а не a-b. Почему?
Угол между векторами можно вычислить с помощью их скалярного произведения. Вспомним: Скалярное произведение векторов А и В равно:
(А, В) = |А|*|В|*cos(А^В)
Но с другой стороне оно равно сумме попарных произведений координат векторов А и В:
(А, В) = Ах*Вх + Ау*Ву + Аz*Bz
Приравняв эти две суммы найдете косинус угла - а стало быть и угол.
Но вот загвоздка - посмотрите на рисунок - в зависимости от направления векторов диагоналей Вы вычилите либо острый либо тупой угол. Поставьте стрелки векторов. Для вычисления острого угла необходимо, чтобы вектор диагонали вычислялся как разность между меньшим и большим вектором стороны параллелограмма! А меньший вектор как раз b (почему, подумайте сами) .
Вот и все!
Удачи!