бесконечно малые функции

Ответ от Green flower[гуру]
Бесконечно малые функции
Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если
Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде
( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ) : | f (x) | < ε.
Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х0 отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.
Доказательство. Пусть
Рассмотрим разность f (x) – А = α(х) . Так как
,
то функция α(х) является бесконечно малой при x → х0.
Функция α (x) называется бесконечно малой при, если
Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при .
Если, то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);
Если, то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;
Если, то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);
Если, то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при .
В частности, следующие функции являются эквивалентными:
При вычислении предела отношения двух бесконечно малых функций мы можем заменить эти функции их эквивалентными выражениями.