Биекция
Автор Black_Jake задал вопрос в разделе Естественные науки
Математики, помогите пожалуйста. Объясните, в элементарной форме, в чем разница между инъекцией, сюръекцией и биекцией. и получил лучший ответ
Ответ от Владимир Павлек[гуру]
Ну вот возьмем два множества: множество учеников и множество стульев в классе. И будем устанавливать соответсвие между этими двумя множествами, т. е. просто рассаживать учеников на стулья.
1. Если каждый ученик сел на отдельный стул (некоторые стулья могут остаться свободными) , то это инъекция. Понятно, что при таком отображение количество стульев не может быть меньше количества учеников (ученики не могут садится по два на один стул) .
2. Если все стулья оказались заняты (на некоторых могут сидеть и по два или больше учеников) , то это сюръекция. В этом случает уже количество учеников не может быть меньше стульев.
3. Если каждый ученик сидит на отдельном стуле, и нет ни свободных стульев, ни учеников, которым стульев не хватило - это биекция. Т. е. биекция это одновременно и инъекция (каждый ученик сидит на отдельном стуле) и сюръекция (все стулья заняты) . Для возможности такого отображения (биекции) количество учеников должно быть в точности равно количеству стульев.
Естественно вместо учеников и стульями может быть что угодно, например числовые множества.
Все эти соответсвия могут устанавляваться и между бесконечными множествами. И кроме того, между конечным и бесконечным - инъекция, или бесконечным и конечным - сюръекция.
Да и маленькое замечание к ответу Андре Дедыка, он в общем-то все вам понятно объяснил, только немного неправильно. В определении инъекции требуется, чтобы разным элементам первого множества соответствовали разные элементы второго. Так что в его примере парням нужно обязательно целовать разных девушек
Это виды взаимно-однозначных отображений.
Инъекцию куда делают медики? В тебя. Значит, это отображение В. То есть ВСЁ множество А отображается в какую-то часть множества В.
Сюръекция - отображение НА. То есть какая-то часть множества А отображается на ВСЁ множество В.
Биекция - это инъекция и сюръекция одновременно. То есть в этом случае ВСЁ множество А отображается на ВСЁ множество В.
Всё это отношения (ЧТО-ТО отображается КУДА-ТО)
инъекция - все элементы ЧТО-ТО отображены в некоторые элементы КУДА-ТО (но ну во все)
сюръекция - все элементы КУДА-ТО заняты некоторыми элементами ЧТО-ТО (но ну во все)
биекция - все элементы ЧТО-ТО отображены на все элементы КУДА-ТО.
А теперь примеры:
Есть два множества. Каждый состоит из двух элементов (для простоты). Например, "парни" - Андрей (первый элемент) и Борис (второй)
"девушки" - Вика и Галя. Значит первое множество состоит из двух элементов А и Б. Второе множество - из В и Г. Пока все понятно? ?
Можно задать любое отображение - иньективное, сюрьективное, биективное, короче любое.
Взаимодействие должно быть только между элементами разных множеств. А и Б между собой не могут взаимодействовать... Придумал взаимодействие = "целоваться"
1)Задаю иньективное:
А поцеловался с В. Б поцеловался с В.
Отсюда видно что все парни кого-то поцеловали, но не все девушки целованные.
2) сюрьекция
А поцеловался с В. А поцеловался с Г
Видно что все девушки поцеловались, но не все парни!! !
(Здесь я немножко ошибся, но это суть не меняет. Специально не поправляю что бы не сбивать... )
3) биекция
Тут все просто. Каждый парень должен хоть с кем то поцеловаться. И каждая девушка должна хоть с кем-то поцеловаться. И по этому
А целуется с В. Б целуется с Г.
Понятно?
Могу еще таких примеров наготовить, но лучше для усвоения если вы сами попробуете придумать такие примеры (но для троих элементов) и написать в комментариях. Вот и проверим.
Не. Инъекция - это другое (чем у выходца из народа). Тут лучше на картинке посмотреть. Вот все коротко и ясно