четные цифры от 0 до 9

Ответ от Егор Бабкин[гуру]
Оценим чётность суммы `S`. Сумма или разность любого количества чётных чисел будет числом чётным, значит, они не повлияют на чётность `S`.
Нечётные же разряды нашего числа, а их пять - нечётное количество, можно разделить на две группы только так, чтобы в одной из них было нечётное количество чисел.
Значит, сумма чётных разрядов с любыми знаками плюс сумма чётного количества нечётных с любым знаком при ней не влияет на чётность результата.
Остаётся же сумма нечётного количества нечётных чисел с любым знаком перед ней, а это число нечётное. Значит, приходим к выводу, что:
`S = 1 (mod 2)`.
Это возможно только тогда, когда
`S in (-99,-77,-55,-33,-11,11,33,55,77,99)`.
Теперь оценим верхнюю и, соответственно, нижнюю границу, суммы `S`.
Сначала займёмся верхней границей. У нашего числа есть чётные разряды, которые лишь увеличивают сумму `S` и нечётные разряды, которые её уменьшают.
Будем формировать сумму так, чтобы она всегда принимала максимальное значение, чтобы было так необходимо, чтобы среди чётных разрядов были максимальные,
а среди нечётных - минимальные.
Значит, к группе чётных разрядов отойдут числа `9,8,7,6,5`, а к группе нечётных разрядов отойдут числа `0,1,2,3,4`.
При любой замене чётного и нечётного разряда сумма будет лишь уменьшаться, следовательно она максимальна именно при такой сортировке разрядов.
Поэтому приходим к выводу, что:
`S_max=(9+8+7+6+5)-(0+1+2+3+4)=35-10=25`.
Отсюда немедленно следует, что:
`S_min=-25`.
Но, тогда `S in (-11,11)`.
Тем не менее.. .
С другой стороны:
`S=45-2*S_(odd)`.
Значит `S_(odd)=(45-11)/2=17`.
Отсюда следует, что нам необходимо представить `17` как сумму 5-ти различных чисел из диапазона `[0,9] ^^ ZZ`.
`17=1+16=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=9+8`.
Это возможно, ведь мы сразу видим один из возможных путей (может он и не единственный, кто знает?? ? ):
`17=7+4+3+2+1`.
Значит, возможны и такие числа. Мы образуем их перестановками по чётным разрядам цифр `9,8,6,5,0` и по нечётным - цифр `7,4,3,2,1`.
Например:
`9784635201`,
`8794635201`,
`9784630251`
и так далее.. .
Ответ: Найдутся
Источник: allmatematika.ru