числа мерсенна

Ответ от Андрей Дрововозов[активный]
Простые числа - это целые положительные числа, которые делятся только на себя и на единицу. Числа Мерсенна - это особый вид простых чисел вида (2 в степени Р) -1, где Р - простое число.
Обнаружено число Мерсена, равное "2 в степени 20 996 001 минус 1". Это всего лишь сороковое по счету обнаруженное число Мерсенна.
Теорема. Если Mp = 2p– 1 – простое число Мерсена, то число 2p-1(2p– 1) является совершенным.
Доказательство. Выпишем делители числа 2p-1Mp, меньшие самого числа: 1, 2, 22, … 2p-1, Mp, 2Mp, 22Mp, … 2p-2Mp. Посчитаем их сумму. Имеем
1 + 2 + 22 + … + 2p-1 = 2p – 1 = Mp;
Mp + 2Mp + 22Mp + … + 2p-2Mp = (1 + 2 + 22 + … + 2p-2)Mp = (2p-1 – 1)Mp.
Следовательно, 1 + 2 + 22 + … + 2p-1 + Mp + 2Mp + 22Mp + …+ 2p-2Mp = Mp + (2p-1 – 1)Mp = 2p-1(2p – 1).
Л. Эйлер доказал, что числами вида 2p-1(2p– 1), где 2p– 1 – простое число Мерсена, исчерпываются все четные совершенные числа. В настоящее время известно 43 четных совершенных числа. Неизвестно, бесконечно много таких чисел или нет. Вопрос о существовании нечетных совершенных чисел также остается открытым.