что такое множество в математике

Ответ от В. Н. Е.[гуру]
Здравствуйте!
Множества в математике, это собрание тех или иных (за частую математических) объектов, разделяющих какое-то определённое свойство. Например: множество всех натуральных чисел, это собрание всех целых, положительных чисел. Мы говорим "множество, " этим подчеркивая, что то самое собрание само является отдельным математическим объектом со своими свойствами.
В так называемой наивной теории множеств, любые множества могут быть представлены (т. е. , коллекция любых тел, не важно скольких, и не важно каких) может быть названо множеством. В аксиоматической теории множеств, это не возможно - существуют две аксиомы, глосящии о построении множеств, и не все коллекции могут являться множествами (т. к. некоторые преводят к парадоксам) . Например, множество всех множеств не сусществует в аксиоматической теории множеств. Чтоб понять почему, представим, что такое множество существует, назовём его М. Но тогда, есть множество содержащее М, назовём его Х. , и Х больше чем М. Но М содержет все множество, а значит и Х. Не может быть!
В принципе, в современной математике, все математические объекты являются множествами. Например, даже график функции, скажем y = f(x), является множеством всех парных (x, f(x)). Обращаясь со множеством как с отдельным объектом позволяет нам вводить операции на множествах - операции сложения, вычетания, и многие другие. Именно на этом основана, например, вся теория топологии, что имеет широкие применения во всей современной математике.
Удачи!
В. Е.