Градиент и дивергенция
Автор 4bos задал вопрос в разделе Естественные науки
Градиент и дивергенция и получил лучший ответ
Ответ от Іыбиков Олег[гуру]
Допустим, во всём объеме комнаты, в которой Вы сейчас сидите, задана некоторая числовая характеристика, например, температура. То есть, каждой точке мы ставим в соответствие некоторое число -- задаем скалярное поле, просто функцию от трех аргументов, x, y, z. Чтобы не переусложнять, допустим, что это поле не меняется со временем. Теперь в каждой точке вычисляем скорость (производную) , с которой ее значение меняется при бесконечно малом перемещении в каком-либо направлении. Из всех таких производных в данной точке выбираем наибольшую положительную и "рисуем" вектор из точки в этом направлении с длиной, равной этой производной. Проделаем так с каждой точкой в Вашей комнате. Таким образом, мы задали векторное поле (правило, ставящее в соответствие каждой точке вектор) , которое называется градиентом данного скалярного поля.
Теперь берем произвольное векторное поле, а в нём - произвольную точку. Окружаем ее мысленно небольшой сферой. Если линии, вдоль которых направлены вектора в этой небольшой окрестности не параллельны, то поле как бы "втекает" в эту сферу больше, чем вытекает (или наоборот -- зависит от направления векторов). Отношение "втекающего" потока к "вытекающему", при стремлении объема сферы к нулю, называется дивергенцией. Таким макаром, ее можно вычислить для каждой точки, в которой задано наше векторное поле. Дивергенция - скалярное поле.
Математики сейчас меня загрызут, но сделал все, что мог.
Как ты будешь без понимания математики-то?
Градиент - векторная производная (максимальная) .
То есть изменение в каком-то направлении.
Например, в печке есть градиент температуры изнутри наружу.
Дивергенция - распределение источников, пересечений силовых линий.
Количество электрических зарядов, например, в каком-то объёме.
Ну вот есть у тебя какая-то поверхность, мячик там или ещё какой сложной формы. К одной её точке можно приложить только одну касательную плоскость (если нельзя, то функция недифференцируема в этой точке и градиента нет) .
Перпендикуляр к этой плоскости (нормаль) и будет направлением градиента. А численное его значение - это значение функции в точке, полученной из частных производных функции этой сложной поверхности.
Градиент - это вектор, направление наибольшего (!) роста функции. Он указывает где "горячее".
Если есть какой-то объём, а где-то в внутри источник тепла (например) , то градиент всегда указывает на него. Если источников несколько, то он укажет то направление (к ближнему источнику или в какую-нибудь среднюю точку) , двигаясь вдоль которого мы будем получать наибольший рост температуры.
Дивергенция - это функция, характеризующая расходимость векторного поля (выше написано что это) , т. е. плотность источника поля в данной точке (это надо как-то понять) . Выше хорошо написано про вытекание-втекание. Она выражает количество жидкости (например) вытекающей (втекающей) из области через поверхность её ограничивающую.