доказательство 3 признака равенства треугольников

Ответ от Вова калугин[активный]
сли три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Дано:
2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1
Два треугольника с тремя равными сторонами
Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.
Доказательство
Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Наложение двух треугольников
Три возможных случая при наложении треугольников
Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Первый случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.
Второй случай
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Третий случай
Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
Первый случай
Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
Первый случай
По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
Поскольку
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то и углы AСB и AС1B равны.
Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать
Второй случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник САС1.
Второй случай
Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 - равнобедренный.
По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1. Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.
Третий случай
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Доказательство:
Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
Третий случай доказательство
По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
Рассмотрим треугольник АСС1.
Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).
∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.
Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.