свойство касательной к окружности доказательство
Автор Парень Питерский задал вопрос в разделе Домашние задания
как доказать теорему о свойствах касательной к окружности ? и получил лучший ответ
Ответ от NastyaLa[эксперт]
Теорема о свойстве касательной к окружности
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове-
дённому в точку касания.
Дано: окр (О; ОА)
р – касательная к окружности,
А – точка касания.
Доказать: р перпендикулярна ОА.
Доказательство (методом от противного)
Предположим, что р не перпендикулярна ОА
В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т. е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Ч. т. д.
Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной.
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дано: окр (О; ОА) , р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА
Доказать: р – касательная к окр (О; ОА) .
Доказательство
По условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Ч. т. д.