две основные задачи динамики

Ответ от Александр Галицкий[гуру]
Сила. Уравнение движения Ньютона. Основные задачи динамики материальной точки. Работа. Кинетическая энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Принцип обратимости движения в поле консервативных сил
Итак, для того чтобы определить движение материальной точки, надо решить уравнение движения Ньютона
(1)
где сила F в общем случае может зависеть от:
— координат частицы r (колебания груза на пружине, F = –kx, движение Земли вокруг Солнца, F~ 1/r2),
— скорости частицы v (сила трения: при больших скоростях ~ υ2, а при малых ~ υ),
— времени t (переменное во времени воздействие) .
Так, например, если заряженная частица движется в электрическом и магнитном полях, то на нее действует сила Лоренца
(2)
где q заряд частицы. Заметим, что здесь оба слагаемых — полярные векторы!
Однако, как известно, заданием силы движение однозначно еще не определяется. Необходимо задать также начальные условия r(0) и v(0), то есть значения координаты и скорости в некоторый начальный момент времени t = 0. 1 Тогда, как доказывается в математике, уравнение (1) будет иметь единственное решение r = r(t).
Поскольку в уравнение, описывающее второй закон Ньютона, входят не только сама функция r(t), но и ее первая, dr/ dt = v, и вторая, d2r/ dt2 = a, производные по времени, это уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка. Не существует универсальной теории или рецепта, как решать такие уравнения в общем случае. Достаточно хорошо разработаны лишь численные методы, но для них часто безразлично, насколько сложным выглядит выражение для силы. Однако в достаточно пpостых случаях такие решения могут быть найдены аналитически.
Работа
Как известно из курса физики средней школы, работа — это скалярная величина, равная произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними. Для конечного перемещения Δr имеем
Δ A = F· Δr = F Δ r cos α , (3)
где мы воспользовались понятием скалярного произведения двух векторов.
Рис. 1. Работа pавна скаляpному пpоизведению силы на пеpемещение.
В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории L, проходит путь конечной длины, этот путь можно мысленно разбить на бесконечно малые участки, на каждом из которых сила F может считаться пpиближенно постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле dA = F· dr. Если теперь сложить все эти элементарные работы, то получим выражение для работы в виде интеграла
(4)
Это выpажение называется криволинейным интегралом от вектора F вдоль кривой L.
Работа силы, отнесенная к единице времени, называется мощностью:
(5)
Поскольку
(6)
то формулу для работы можно переписать в виде
(7)
то есть можно выразить работу через интеграл от мощности по времени, или через интеграл по времени от скалярного произведения силы на скорость частицы. В последнем случае ясно, что если сила, действующая на частицу, пеpпендикуляpна скоpости v, то pабота такой силы pавна нулю. Поэтому, напpимеp, магнитное поле никакой pаботы над частицей не пpоизводит (смотpи втоpое слагаемое в фоpмуле (2)).
Воспользуемся теперь формулой второго закона Ньютона и выразим силу через производную от импульса по времени F = dp/ dt:
(8)
Поскольку p = mv, то dp = m dv. Поэтому
(9)
При этом мы воспользовались тем, что dυ2 = d(v· v) = 2v· dv. Если тепеpь мы будем рассматривать работу силы при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2, то искомая работа будет равна
остальное здесь