формула аннуитета

Ответ от Hofa[мастер]
Вывод формулы расчета Аннуитетного платежа (АП)
Ежемесячный Аннуитетный Платеж (ЕАП) - один из видов платежей в ипотеке. АП - равный неизменяемый платеж на весь срок кредитования. АП подразделяются на Относительные (ОАП) и Абсолютные (ААП) .

ОАП выражаются в процентах или долях от суммы кредита

ААП в денежных единицах (рубли, доллары,...) .
ААП равен произведению ОАП на Сумму Кредита (СК)

ААП = ОАП*СК
Вывод формулы ОАП/ААП
ЗАДАЧА: Требуется вывести формулу расчета ОАП/ААП с полным погашением кредита за n - Аннуитетных Платежей

Исходные данные, обозначения и сокращения:
CК = 1 - сумма кредита
n - количество АП - равных платежей, Процентных Периодов (ПП)
p - Процентная Ставка (ПС) (в долях) за 1 ПП (если p = 1%, то доля = 0,01)
k - номер платежа
Dk - долг после k-платежа
Dn = 0, т. к. заемщик после n-платежей полностью рассчитается по кредиту
а - размер ОАП
Применим вспомогательный коэффициент - q

q = 1 + p, где
р - ПС (в долях) за ПП

С каждым последующим АП остаток долга, на который начисляется процент уменьшается до нуля после последнего АП

Dk = Dk-1 + Dk-1*p - a = Dk-1*(1 + p) - a = Dk-1*q - a

СК = 1 > D1 > D2 > ...> Dk-1 > Dk > Dk+1 ...> Dn-1 > Dn = 0

СК = 1

D1 = СК + СК*p - a = СК*(1+p) - a = СК*q - a = 1*q - a = q - a

СК = 1 > D1 = СК + СК*p - a = 1 + p - a
т. е.
1 > 1 + p - a
0 > p - a
a > p = (q - 1)
Т. к. очевидно, что при ОАП = a < p или a = p, заемщик никогда не рассчитается с банком

D2 = D1 + D1*p - a = D1*(1 + p) - a = D1*q - a = (q - a)*q - a = q2 - a*q - a

D3 = D2*q - a = (q2 - a*q - a)*q - a = q3 - a*q2 - a*q - a = q3 - a*(q2 + q + 1)

--

Dk = Dk-1*q - a = qk - a*(qk-1 + qk-2 + .+q + 1)

--

Dn = Dn-1*q - a = qn - a*(qn-1 + qn-2 + .+q + 1) = 0

Т. е.

qn = a*(qn-1 + qn-2 + .+q + 1)

Правая часть уравнения - сумма n-членов геометрической прогрессии
Умножим и разделим ее на (q - 1)

qn = a*(qn-1 + qn-2 + .+q + 1)*(q - 1)/(q -1)

qn = a*(qn - qn-1 + qn-1 - qn-2 + qn-2...-q + q - 1)/(q - 1)

qn = a*(qn - 1)/(q - 1)

Откуда

a = (q - 1)*qn/(qn - 1) = (q - 1)*(qn - 1 + 1)/(qn - 1) = (q - 1)*[1 + 1/(qn - 1)] = (q - 1) + (q - 1)/(qn - 1]

или

a = (q - 1)*qn/(qn - 1)

Если разделим числитель и знаменатель на qn, то

a = [(q - 1)*qn/qn]/[(qn - 1)/qn] = (q - 1)/(1 - 1/qn) = (q - 1)/(1 - q-n)

Зная, что q = 1 + p или p = q -1, получаем следующие Формулы расчета ОАП