функция грина

Ответ от Евгений Тахтахаев[активный]
ЗАйди сюда
В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M в точке x0, является решением уравнения (Lf)(x) = δ(x − x0), где δ — дельта-функция Дирака. Если ядро оператора L нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция, а обобщённая функция.
Функцию Грина можно представить как обратный оператор к L.
Функции Грина также полезны в теории конденсированных сред, где они позволяют разрешить уравнение диффузии, и в квантовой механике, где функция Грина гамильтониана является ключевой концепцией и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны.
Функция Грина названа в честь английского математика Георга Грина (англ. George Green), который первым развил эту теорию в 1830-х гг.
Содержание [убрать]
1 Основание
2 Применения функции Грина
2.1 Исходные данные
2.2 Теорема
3 Нахождение функции Грина
3.1 Разложение
4 Функция Грина для лапласиана
5 Пример
6 Другие примеры
7 См. также
8 Литература
[править] Основание
Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма — Лиувилля. Пусть g — функция Грина оператора L, тогда решение f уравнения Lf = h задаётся так:
.
Это можно считать разложением h по базису из дельта-функций Дирака.
[править] Применения функции Грина
Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых задач. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов) .
[править] Исходные данные
Пусть L — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида
и пусть D — оператор краевых условий
Пусть f(x) — непрерывная функция на промежутке. Предположим также, что задача
регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.
[править] Теорема
Тогда существует единственное решение u(x), удовлетворяющее системе
которое задаётся выражением
,
где — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:
непрерывна по x и s.
Для , .
Для , .
Скачок производной: .
Симметрична: .
[править] Нахождение функции Грина
[править] Разложение
Если множество собственных векторов дифференциального оператора LΨn(x) (то есть набор функций Ψn(x) и скаляров λn таких, что LΨn = λnΨn) полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов и собственных значений.
Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора Ψn(x):
.
Можно показать, что
.
Действительно, подействовав оператором L на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты) .
[править] Функция Грина для лапласиана
Green's functions for linear differential operators involving the Laplacian may be readily put to use using the second of Green's identities.
To derive Green's theorem, begin with the divergence theorem (otherwise known as Gauss' law):
.
Let and substitute into Gauss' law. Compute and apply the chain rule for the operator:
.
Plugging this into the divergence theorem, we arrive at Green's theorem:
.
Suppose that our linear differential operator L is
Источник: