формула герона для треугольника
Автор Arys задал вопрос в разделе Домашние задания
вывод формулы герона? помагите и получил лучший ответ
Ответ от Оксана харитонова[активный]
Формула Герона выражает площадь треугольника через длины трех его сторон.
Теорема (формула Герона) . Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:
s= корень p(p-a)(p-b)(p-c)
Доказательство. Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус
Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r.
Согласно свойству площадей:
пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=
= 1/2 b . r+1/2 c . r+1/2 a . r=r/2 (a+b+c)=p . r.
Выражая r через стороны треугольника a, b и с,
что и требовалось доказать.
корень из р (р-а) (р-в) (р-с)
где р -полупериметр
а, в, с -стороны
Рассмотрим треугольник АВС с высотой СН = h, опущенной из вершины С. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание S=1/2ch. Высоту можно выразить из прямоугольного треугольника АНС как h = bsina в случае острого угла a или как h = bsin(p-a) в случае тупого угла a.
к доказательству
В силу равенства sin(p-a) = sina в обоих случаях имеем h = bsina. Формула для площади треугольника примет вид
S=1/2ЧbЧcЧsina....(1)
Теорема 33. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Записав эту формулу и для других сторон, мы увидим, что вы из них вытекают следующие пропорции
теорема синусов.... (2)
выражающие следующую теорему.
Теорема 34. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем, последнее равенство взято (доказ. ) в теме описанная около треугольника окружность из теорем 40 и d6
Выведем теперь формулу Герона, дающую выражение площади треугольника через длины его сторон. Для этого из формулы теоремы косинусов выразим cosa, а из теоремы синусов sina:
теоремы синусов и косинусов
(3)
(4)
Вспомним главное тригонометрическое тождество. Возводя оба последних равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем
выведение
И окончательно получаем
Теорема 35. Формула Герона. Площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле:
формула Герона.... (5)
Отсюда получаются также формулы для высот треугольника:
формула для высот.... (6)
Достаточно, конечно, знать на память формулу Герона, так как выражения для высот получаются из неё немедленно.
Найдите площадь треугольника АВС, если даны вершины А (-2;0), В (-3;-2), С (-4;1)
Пусть задана треугольник ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Площадь такого треугольника можно
подробнее...
Герон Александрийский. . в чем талант этого забытого Ученого??
Многие из нас, изучая физику или историю техники, с удивлением обнаруживают, что некоторые
подробнее...
как найти площадь треугольника? Как айти площадь треугольника!?
Формул существует много:
1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь
подробнее...
Создайте табличный алгоритм для вычисления площади треугольника по формуле Герона
Фо́рмула Геро́на позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:
подробнее...
Как найти площадь разностороннего треугольника (формула)?!!
Для решения нам нужна формула Герона:
S = корень ( p (p-a) (p-b) (p-c) )
S - площадь
подробнее...
как найти площадь треугольника если известны только 3 стороны???
Формула Герона именно для
подробнее...
Какая формула чтобы вычислить площадь у тупоугольного треугольника?
В тупоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины острого угла, лежит вне треугольника.
подробнее...
как высчитать площадь равнобедренного треугольника? Срочно!!!!
Площадь равнобедренного треугольника считается по тем же формулам, что и площадь произвольного
подробнее...
формула площади треугольника
1.Площадь треугольника считается по формуле: произведение любых двух его сторон на синус угла между
подробнее...
Чему равна площадь равнобедренного треугольника? Формула
Данная программа поможет Вам найти площадь треугольника всеми возможными способами. Для нахождения
подробнее...
Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом
Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение
подробнее...
как найти высоту треугольника, если известны стороны треугольника, но не известна площадь?
1
Первый способ найти высоту – через площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется
подробнее...