Автор Apache задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Необходимо найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость в концах интервала и получил лучший ответ
Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Радиус сходимости степенного ряда с общим членом a(n)x^n
ищем по формуле R=1 / lim a(n)^(1/n),
lim (1-1/n)^(1/n)=lim (1-1/n)^n=1/e. Радиус R=e, интервал сходимости -e < x < e.
При x=e, получается числовой ряд с общим членрм
b(n)=e^n*(1-1/n)^(1/n^2)=e^[ n+n^2*ln(1-1/n) ],
При n --> oo, n+n^2*(-1/n+1/2n^2-..)=n-n+1/2-..b(n) --> e^(1/2) =/= 0.
Ряд расходится: не выполнено необходимое условие сходимости.
При x=-e, b(n) --> e^(1/2) =/=0, ряд расходится.
К Елене Гужвенко вопрос о концевых точках - в комментарии.
Apache
Мастер
(2028)
спасибо огромное вам - мы с преподавателем уже несколько уроков не можем дойти до конца (консультируюсь у неё)
Радиус сходимости равен е. Интервал сходимости (-е, е) Подставляете число е вместо х, получите ряд с положительными членами, исследуете его на сходимость. По признаку Коши он сходится. Тогда область сходимости [-е, е]
Область и радиус сходимости степенного ряда
вычислим верхний предел lim(2n-1)ий корен (1/(n+3)4^(n+1)) нетрудно видит что оно =1/2 значит
подробнее...
Интервал сходимости степенного ряда
Для того, чтобы выяснить, сходится ряд или нет, нужно исследовать какой-нибудь критерий. Например,
подробнее...
Найти интервал сходимости степенного ряда
u(n) = (x-2)^n/(3n+1)!
u(n+1)=(x-2)^(n+1)/(3*(n+1)+1)!
по признаку Даламбера