исследование функции при помощи производной

Ответ от Ника[гуру]
Решение: 1) область определения (-∞; ∞) 2) множество значений функции (-∞; ∞) 3) Проверим является ли функция четной или не четной: y(x)=1/6x³-x²+1 y(-x)=-1/6x³-x²+1, Так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х) , то функция не является ни четной ни не четная. 4) Найдем нули функции: при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0;1) при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0 уравнение не имеет рациональных корней. 5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума: y\'=0.5x²-2x; y\'=0 0.5x²-2x=0 0.5x(x-4)=0 x1=0 x2=4 Так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y\'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. Так как на промежуткe (0;4) y\'< 0, то на этом промежутке функция убывает. Так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4 )=64/6-16+1=-13/3 Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0 )=1 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: y"=x-2; y"=0 x-2=0 x=2 Tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх Так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз. Точка х=2; является точкой перегиба. у (2)=8/6-4+1=-5/3 7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^ а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот. Проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b: k=lim (прих->∞) (y(x)/x)=lim (прих->∞) (1/6x²-x+1/x)=&#8734 Так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет